A circunferência é uma figura geométrica definida por um conjunto de pontos equidistantes do seu centro. As duas principais informações que podemos obter de sua equação é a definição do centro é o comprimento de seu raio. Além disso, a circunferência pode ter pontos de intersecção com os eixos coordenados. Diante dessas informações, com base n a circunferência x² + y² + 6x - 4y + 4 = 0, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) O ponto central da circunferência é C(-3, 2). ( ) O comprimento de seu raio é 3. ( ) Existem dois pontos de intersecção da circunferência com o eixo y. ( ) Há apenas um ponto de intersecção da circunferência com o eixo x.

Alternativa D

Para resolver esta questão, precisamos analisar a equação geral da circunferência para encontrar o centro e o raio, e em seguida verificar os pontos de intersecção com os eixos coordenados.

A equação fornecida é:
x^2 + y^2 + 6x - 4y + 4 = 0

Identificação do Centro e Raio

A forma geral da equação da circunferência é x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0. As fórmulas para o centro (x_c, y_c) e o raio r são:

No caso deste problema:

• D = 6
• E = -4
• F = 4

Calculando o centro:
x_c = -\frac{6}{2} = -3
y_c = -\frac{-4}{2} = 2
O centro é $C(-3, 2)$. Isso torna a primeira sentença Verdadeira (V).

Calculando o raio:
r = \sqrt{(-3)^2 + (2)^2 - 4} = \sqrt{9 + 4 - 4} = \sqrt{9} = 3
O raio é 3. Isso torna a segunda sentença Verdadeira (V).

Pontos de Intersecção com os Eixos

Com o eixo y

Para encontrar os pontos onde a circunferência toca o eixo y, fazemos $x = 0$ na equação:
0^2 + y^2 + 6(0) - 4y + 4 = 0
y^2 - 4y + 4 = 0
Esta é uma equação do segundo grau onde podemos calcular o discriminante (\Delta):
\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0
Como \Delta = 0, existe apenas uma solução (y = 2). Portanto, há apenas um ponto de intersecção (a circunferência é tangente ao eixo y).
A terceira sentença afirma que existem dois pontos. Isso é Falso (F).

Com o eixo x

Para encontrar os pontos onde a circunferência toca o eixo x, fazemos $y = 0$ na equação:
x^2 + 0^2 + 6x - 4(0) + 4 = 0
x^2 + 6x + 4 = 0
Calculando o discriminante (\Delta):
\Delta = 6^2 - 4(1)(4) = 36 - 16 = 20
Como \Delta > 0, existem duas soluções reais distintas para x.
A quarta sentença afirma que há apenas um ponto. Isso é Falso (F).

Análise das Sentenças

A sequência correta é V – V – F – F.

Conclusão

Com base nos cálculos realizados, a alternativa que apresenta a sequência correta é a D.