Alternativa A - Centro (-8, 6) e Raio = 8
Para encontrar o centro e raio de uma circunferência dada pela equação geral, precisamos transformar a equação para sua forma reduzida completando os quadrados.
Visualização da Figura
A equação geral da circunferência tem o formato:
x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
Onde identificamos:
- D = 16 (coeficiente de x)
- E = -12 (coeficiente de y)
- F = 36 (termo independente)
Cálculo Passo a Passo
Método 1: Completando Quadrados
- Agrupe os termos em x e y:
x^2 + 16x + y^2 - 12y + 36 = 0 - Complete o quadrado para x:
x^2 + 16x = (x + 8)^2 - 64 - Complete o quadrado para y:
y^2 - 12y = (y - 6)^2 - 36 - Substitua na equação original:
(x + 8)^2 - 64 + (y - 6)^2 - 36 + 36 = 0 - Simplifique:
(x + 8)^2 + (y - 6)^2 = 64 - Identifique centro e raio:
- Forma padrão: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
- Centro (h, k) = (-8, 6)
- Raio r = \sqrt{64} = 8
Método 2: Fórmulas Diretas
| Parâmetro | Fórmula | Aplicação |
|---|
| Centro X | -\frac{D}{2} | -\frac{16}{2} = -8 |
| Centro Y | -\frac{E}{2} | -\frac{-12}{2} = 6 |
| Raio | \sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 - F} | \sqrt{64 + 36 - 36} = \sqrt{64} = 8 |
Verificação Numérica
- Centro calculado: (-8, 6) ✓
- Raio calculado: $8$ ✓
- Equação final: (x + 8)^2 + (y - 6)^2 = 64 ✓
Conclusão
A alternativa A está correta porque o centro é (-8, 6) e o raio é $8$. As outras alternativas apresentam erros comuns como esquecer o sinal negativo nas coordenadas do centro ou confundir raio com área (r^2 = 64).