O raio de uma circunferência em geometria analítica é uma medida constante que representa a distância do centro da circunferência a qualquer ponto pertencente a ela, podendo ser utilizado para determinar sua posição e características geométricas. Desta forma, analise cada uma das circunferências a seguir, o qual devem possuir seu raio medindo 3: x² + y² + 4x - 12y + 14 = 0 II. x² + y² - 2x + 8y + 8 = 0 III. x² + y² + 2x + 6y + 1 = 0 IV. x² + y² + 10x - 2y + 16 = 0

Análise da Questão

Para determinar o raio de uma circunferência dada na forma geral x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0, precisamos completar os quadrados ou usar a fórmula do raio:

Onde:

• O centro é dado por C\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)
• O raio deve ser igual a 3 unidades para cada equação correta

Verificação de Cada Equação

I. x² + y² + 4x - 12y + 14 = 0

Completando quadrados:
x^2 + 4x + y^2 - 12y + 14 = 0
(x+2)^2 - 4 + (y-6)^2 - 36 + 14 = 0
(x+2)^2 + (y-6)^2 = 26

r = \sqrt{26} \approx 5,1 \neq 3 ❌

II. x² + y² - 2x + 8y + 8 = 0

Completando quadrados:
x^2 - 2x + y^2 + 8y + 8 = 0
(x-1)^2 - 1 + (y+4)^2 - 16 + 8 = 0
(x-1)^2 + (y+4)^2 = 9

r = \sqrt{9} = 3 ✅

III. x² + y² + 2x + 6y + 1 = 0

Completando quadrados:
x^2 + 2x + y^2 + 6y + 1 = 0
(x+1)^2 - 1 + (y+3)^2 - 9 + 1 = 0
(x+1)^2 + (y+3)^2 = 9

r = \sqrt{9} = 3 ✅

IV. x² + y² + 10x - 2y + 16 = 0

Completando quadrados:
x^2 + 10x + y^2 - 2y + 16 = 0
(x+5)^2 - 25 + (y-1)^2 - 1 + 16 = 0
(x+5)^2 + (y-1)^2 = 10

r = \sqrt{10} \approx 3,16 \neq 3 ❌

Resumo dos Resultados

Conclusão

Apenas as equações II e III possuem raio igual a 3.

Alternativa A