Alternativa D - Externa
Para determinar a posição relativa entre duas circunferências, precisamos comparar a distância entre seus centros (d) com a soma dos seus raios (R + r).
Passo 1: Encontrar Centros e Raios
Utilizamos a forma padrão da equação da circunferência: (x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = R^2. Para isso, completamos os quadrados nas equações dadas.
Primeira circunferência (b):
x^2 - 6x + y^2 = 0
Completando o quadrado para x:
(x - 3)^2 - 9 + y^2 = 0
(x - 3)^2 + y^2 = 9
- Centro C_1 = (3, 0)
- Raio r_1 = \sqrt{9} = 3
Segunda circunferência (c):
x^2 + 6x + y^2 - 6y + 9 = 0
Completando os quadrados para x e y:
(x + 3)^2 - 9 + (y - 3)^2 - 9 + 9 = 0
(x + 3)^2 + (y - 3)^2 = 9
- Centro C_2 = (-3, 3)
- Raio r_2 = \sqrt{9} = 3
Passo 2: Calcular a Distância entre os Centros
Usamos a fórmula da distância euclidiana entre C_1(3, 0) e C_2(-3, 3):
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
Substituindo os valores:
d = \sqrt{(-3 - 3)^2 + (3 - 0)^2}
d = \sqrt{(-6)^2 + 3^2}
d = \sqrt{36 + 9}
d = \sqrt{45}
Sabendo que \sqrt{45} = 3\sqrt{5} e aproximando \sqrt{5} \approx 2,236:
d \approx 3 \times 2,236 = 6,708
Passo 3: Analisar a Posição Relativa
Agora comparamos a distância calculada (d) com a soma dos raios (r_1 + r_2):
- Soma dos raios: $3 + 3 = 6$
- Distância entre centros: \sqrt{45} \approx 6,7
Como a distância entre os centros é maior que a soma dos raios (d > r_1 + r_2):
6,708 > 6
Isso significa que as circunferências estão separadas, não se tocando nem se interceptando. Essa é a definição de circunferências Externas.
Resumo das Condições
| Condição | Relação Matemática |
|---|
| Externas | d > r_1 + r_2 |
| Tangentes Externas | d = r_1 + r_2 |
| Secantes | |r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2 |
| Tangentes Internas | d = |r_1 - r_2| |
| Internas | d < |r_1 - r_2| |
Alternativa D.