Analise as afirmações abaixo sobre as transformações geométricas no plano. A homotetia é uma transformação geométrica que amplia ou reduz figuras a partir de um ponto fixo, mantendo a proporcionalidade das distâncias e a medida dos ângulos. II. Uma homotetia de razão k = 2 preserva a forma da figura, mas dobra as medidas de seus ângulos internos. III. Na homotetia, se a razão de semelhança for k = 2, a figura resultante será uma ampliação da original, e sua área será o dobro da área original. IV. Na homotetia, se a razão de semelhança for k = 0,5, a figura resultante será uma redução da original, e sua área será a quarta parte da área original. Pode-se afirmar corretamente que:

Alternativa C - As afirmações I, II e IV estão corretas.

Introdução às Homotetias

A questão aborda o conceito de Homotetia (ou Homotetia) no plano, uma transformação geométrica fundamental na geometria plana. Para resolver este problema, é necessário compreender como a escala afeta tanto as dimensões lineares quanto as áreas das figuras.

O ponto chave desta questão reside na diferença entre a escala de comprimento e a escala de área. Enquanto os comprimentos são multiplicados pela razão k, as áreas são multiplicadas pelo quadrado da razão, k^2.

Análise Detalhada

Vamos examinar cada afirmação apresentada no enunciado para identificar quais estão corretas:

• Afirmação I: Define homotetia corretamente como uma transformação que amplia ou reduz figuras mantendo proporções e ângulos. Isso caracteriza figuras semelhantes.
• Afirmação II: Afirma que com razão k = 2, as medidas dos lados dobram. Como a escala linear é diretamente proporcional a k, esta afirmação está correta.
• Afirmação III: Afirma que com razão k = 2, a área dobra. Isto é falso. A relação de áreas em transformações de escala é dada por k^2. Portanto, com k=2, a área torna-se $2^2 = 4$ vezes maior, não o dobro.
• Afirmação IV: Afirma que com razão k = 0,5 (ou $1/2$), a área é a quarta parte. Calculando a área: (0,5)^2 = 0,25 = 1/4. Esta afirmação está correta.

Resumo das Relações de Escala

Para facilitar a memorização, considere a tabela abaixo comparando os efeitos da razão k:

Conclusão

Com base na análise:

1. A afirmação I é verdadeira.
2. A afirmação II é verdadeira.
3. A afirmação III é falsa (confunde escala linear com escalar de área).
4. A afirmação IV é verdadeira.

Portanto, apenas as afirmações I, II e IV estão corretas, correspondendo à Alternativa C.