Alternativa E
O problema solicita o cálculo da menor distância entre um ponto específico e uma reta definida por equações paramétricas. Para resolver, precisamos primeiro encontrar a equação geral da reta eliminando o parâmetro \lambda.
Passo 1: Encontrar a equação geral da reta
Temos as equações paramétricas:
x = \frac{\lambda + 1}{4}
y = \frac{\lambda + 7}{3}
Isolamos \lambda em ambas as equações para igualá-las:
- Da primeira equação: $4x = \lambda + 1 \Rightarrow \lambda = 4x - 1$
- Da segunda equação: $3y = \lambda + 7 \Rightarrow \lambda = 3y - 7$
Igualando as expressões de \lambda:
4x - 1 = 3y - 7
Reorganizando para a forma Ax + By + C = 0:
4x - 3y - 1 + 7 = 0
4x - 3y + 6 = 0
Assim, identificamos os coeficientes da reta: A = 4, B = -3 e C = 6.
Passo 2: Calcular a distância do ponto à reta
A fórmula para a distância d de um ponto P(x_0, y_0) a uma reta Ax + By + C = 0 é:
d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
Substituindo os valores do ponto (3, 2) e os coeficientes da reta:
- Numerador: |4(3) - 3(2) + 6| = |12 - 6 + 6| = |12| = 12
- Denominador: \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
Logo, a distância é:
d = \frac{12}{5}
Análise
- Conversão Paramétrica: O segredo foi isolar o parâmetro comum (\lambda) nas duas equações. Isso permite transformar o sistema em uma única equação linear.
- Distância Ponto-Reta: É um conceito fundamental na geometria analítica. Lembre-se que o valor absoluto no numerador garante que a distância seja sempre positiva.
- Comparação: O resultado \frac{12}{5} corresponde exatamente à alternativa apresentada.
Alternativa E.