Assinale a alternativa que contenha o volume da esfera de raio 3. Dica: utilize coordenadas esféricas, e assinale a alternativa correta:

Como as alternativas não foram exibidas na imagem, não é possível indicar a letra específica (A, B, C, D, E). No entanto, o cálculo matemático rigoroso fornece o valor exato que deve constar na alternativa correta.

Alternativa correta: O valor é 36π

Introdução ao Problema

O objetivo é calcular o volume de uma esfera com raio R = 3. A questão sugere explicitamente o uso de coordenadas esféricas, um método fundamental em cálculo multivariável para integrar funções sobre regiões esféricas.

Em vez da fórmula clássica de geometria plana (V = \frac{4}{3}\pi r^3), utilizaremos a integração tripla para demonstrar o processo solicitado pela dica da questão.

Desenvolvimento do Cálculo

1. Definição das Coordenadas Esféricas

No sistema de coordenadas esféricas (\rho, \theta, \phi):

• \rho (rho): Distância da origem até o ponto (raio da esfera). Varia de $0$ a R.
• \theta (teta): Ângulo azimutal no plano xy (semelhante à longitude). Varia de $0$ a $2\pi$.
• \phi (fi): Ângulo polar em relação ao eixo z (semelhante à latitude). Varia de $0$ a \pi.

2. Elemento de Volume (dV)

Ao mudar de coordenadas cartesianas (x, y, z) para esféricas, o elemento diferencial de volume inclui o determinante jacobiano da transformação:
dV = \rho^2 \sin(\phi) \, d\rho \, d\phi \, d\theta

3. Montagem da Integral Tripla

O volume V é dado pela integral do elemento de volume sobre a região da esfera:
V = \iiint_E dV = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{3} \rho^2 \sin(\phi) \, d\rho \, d\phi \, d\theta

4. Resolução Passo a Passo

Calculamos a integral separando as variáveis, pois os limites são constantes:

• Integração em relação a \rho:
  \int_{0}^{3} \rho^2 \, d\rho = \left[ \frac{\rho^3}{3} \right]_0^3 = \frac{3^3}{3} - 0 = \frac{27}{3} = 9
• Integração em relação a \phi:
  \int_{0}^{\pi} \sin(\phi) \, d\phi = \left[ -\cos(\phi) \right]_0^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 2
• Integração em relação a \theta:
  \int_{0}^{2\pi} d\theta = [\theta]_0^{2\pi} = 2\pi

5. Produto Final

Multiplicamos os resultados das três integrais:
V = 9 \times 2 \times 2\pi = 36\pi

Análise dos Resultados

A comparação confirma que a integração em coordenadas esféricas produz exatamente o mesmo resultado da fórmula direta, validando o método solicitado.

Conclusão

O volume da esfera de raio 3, calculado utilizando coordenadas esféricas conforme solicitado, é igual a $36\pi$.

Portanto, a alternativa correta deverá conter este valor numérico ou sua aproximação decimal (\approx 113,1).