Calcular a área da região definida por r = 2α cosθ.

Alternativa B - \pi a^2

O problema solicita o cálculo da área de uma região descrita em coordenadas polares pela equação r = 2a \cos\theta.

Esta é uma equação clássica que representa um círculo completo passando pela origem (pólo). Para encontrar a área, podemos identificar a geometria da figura ou utilizar a fórmula de integração para áreas em coordenadas polares.

Análise Matemática

1. Identificação Geométrica (Método Rápido)
Podemos converter a equação polar para coordenadas cartesianas para visualizar melhor a forma:

• Multiplicando ambos os lados por r: r^2 = 2ar \cos\theta
• Sabendo que r^2 = x^2 + y^2 e x = r \cos\theta:
  x^2 + y^2 = 2ax
• Completando o quadrado em x:
  (x - a)^2 + y^2 = a^2

Isso descreve uma circunferência com centro em (a, 0) e raio R = a.

2. Cálculo da Área
Como reconhecemos a figura como um círculo perfeito de raio a, aplicamos a fórmula básica da área do círculo:
A = \pi R^2
Substituindo R = a:
A = \pi a^2

3. Verificação via Integração (Método Formal)
Se utilizarmos a fórmula da área em coordenadas polares A = \frac{1}{2} \int r^2 \, d\theta, o limite de variação de \theta para percorrer o círculo inteiro é de -\frac{\pi}{2} a \frac{\pi}{2}:
A = \frac{1}{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (2a \cos\theta)^2 \, d\theta
A = 2a^2 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2\theta \, d\theta = \pi a^2

Comparação das Alternativas

A alternativa B apresenta exatamente o valor calculado para a área desta circunferência.