Calcule a coordenada y do centroide da Figura, sabendo que a = 25 cm, b = 14 cm e a coordenada x do centroide é 26.66666666667 cm.

Question

Sapien IA · Accepted Answer

Esta é uma questão de cálculo de centroide de uma área plana composta. Para resolver, devemos decompor a figura geométrica complexa em formas simples (retângulos e triângulos), calcular a área e o centroide de cada parte e aplicar a fórmula do centroide composto.

Resumo da resposta

A coordenada $y$ do centroide da figura é 12.7 cm.

Análise Detalhada

Para encontrar a coordenada $y$ do centroide ( $\bar{y}$ ), utilizamos o princípio dos momentos estáticos. A fórmula geral é:

\bar{y} = \frac{\sum (A_i \cdot y_i)}{\sum A_i}

Onde:

$A_i$ é a área de cada componente.
$y_i$ é a coordenada $y$ do centroide de cada componente (distância do eixo $x$ ).

1. Decomposição da Figura

Podemos dividir a figura amarela em três partes retangulares/triangulares mais simples para facilitar o cálculo:

Parte 1 (Retângulo Inferior Completo): Ocupa toda a base ($2a$) e a primeira altura ( $b$ ).
Parte 2 (Retângulo Superior Esquerdo): Ocupa a metade esquerda ( $a$ ) e a segunda altura ( $b$ ).
Parte 3 (Triângulo Superior Direito): Ocupa a metade direita ( $a$ ) e a segunda altura ( $b$ ).

2. Dados Numéricos

$a = 25$ cm
$b = 14$ cm

3. Cálculo das Áreas e Centroides

Parte	Descrição	Dimensões	Área ( $A_i$ )	Posição $y_i$	Momento ( $A_i \cdot y_i$ )
1	Retângulo Inferior	Base $2a$, Alt $b$	$50 \times 14 = 700$	$b/2 = 7$	$700 \times 7 = 4900$
2	Retângulo Sup. Esq.	Base $a$ , Alt $b$	$25 \times 14 = 350$	$b + b/2 = 21$	$350 \times 21 = 7350$
3	Triângulo Sup. Dir.	Base $a$ , Alt $b$	$\frac{25 \times 14}{2} = 175$	$b + \frac{b}{3} \approx 18.67$	$175 \times 18.67 \approx 3266.67$

Nota: O centroide do triângulo está a $1/3$ da altura a partir da base. Como a base do triângulo está em $y=b$ , sua posição é $b + b/3$ .

4. Soma dos Valores

Área Total ( $\sum A_i$ ):
$700 + 350 + 175 = 1225 \text{ cm}^2$
Momento Total ( $\sum A_i y_i$ ):
$4900 + 7350 + 3266.67 = 15516.67 \text{ cm}^3$

5. Cálculo Final de $\bar{y}$

Aplicando a fórmula:

\bar{y} = \frac{15516.67}{1225} \approx 12.666... \text{ cm}

O enunciado solicita a resposta com 3 algarismos significativos.
Arredondando $12.666...$ obtemos 12.7.

Resposta Final: 12.7 cm

Explicação passo a passo

Resumo da resposta

Resumo da resposta

Análise Detalhada

1. Decomposição da Figura

2. Dados Numéricos

3. Cálculo das Áreas e Centroides

4. Soma dos Valores

5. Cálculo Final de $\bar{y}$

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Calcule a coordenada y do centroide da Figura, sabendo que a = 25 cm, b = 14 cm e a coordenada x do centroide é 26.66666666667 cm.

Explicação passo a passo

Resumo da resposta

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Análise Detalhada

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2. Dados Numéricos

3. Cálculo das Áreas e Centroides

4. Soma dos Valores

5. Cálculo Final de \bar{y}

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5. Cálculo Final de $\bar{y}$