Calcule $m ot{A}$. Arredonde para o grau inteiro mais próximo.

Resposta: 106

O valor aproximado do ângulo A é 106°, obtido através da aplicação da Lei dos Cossenos.

Análise Detalhada

1. Identificação do Problema
Temos um triângulo onde conhecemos as medidas de todos os três lados:

• Lado oposto a A (a) = 13
• Lado oposto a B (b) = 10
• Lado oposto a C (c) = 6

Quando temos três lados e precisamos encontrar um ângulo, a ferramenta adequada é a Lei dos Cossenos.

2. Aplicação da Fórmula
A fórmula geral para o ângulo A é:
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A)

Substituindo os valores dados no triângulo:
13^2 = 10^2 + 6^2 - 2(10)(6) \cdot \cos(A)

3. Resolução Algébrica
Calculamos os quadrados e multiplicamos os coeficientes:
169 = 100 + 36 - 120 \cdot \cos(A)

Somamos os termos constantes à direita:
169 = 136 - 120 \cdot \cos(A)

Isolamos o termo com o cosseno movendo 136 para o outro lado:
169 - 136 = -120 \cdot \cos(A)
33 = -120 \cdot \cos(A)

Dividimos por -120 para achar o valor do cosseno:
\cos(A) = \frac{33}{-120}
\cos(A) = -0.275

Observação: Como o cosseno é negativo, sabemos que o ângulo A é obtuso (maior que 90°).

4. Cálculo Final
Aplicamos a função arco-cosseno (\arccos) para encontrar o ângulo:
A = \arccos(-0.275)
A \approx 105.9538...^\circ

5. Arredondamento
A questão pede para arredondar para o grau inteiro mais próximo. Como o decimal é 0.95, arredondamos para cima:
A \approx 106^\circ