Calcule $m ot{C}$. Arredonde para o grau inteiro mais próximo.

Resumo da Resposta

A medida do ângulo C é aproximadamente 118°.

Justificativa Didatica

Para resolver este problema, utilizamos o Teorema dos Cossenos, uma fórmula fundamental da trigonometria que relaciona as medidas dos três lados de um triângulo com o cosseno de um de seus ângulos.

## Análise do Problema

1. Identificação dos Dados:
   Observando o triângulo na imagem, temos as seguintes medidas para os lados:

• Lado oposto ao ângulo C (lado AB): c = 15
• Lado adjacente 1 (lado BC): a = 5
• Lado adjacente 2 (lado AC): b = 12

1. Fórmula do Teorema dos Cossenos:
   A fórmula para encontrar o ângulo C quando conhecemos os três lados é:
   c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)
2. Substituição dos Valores:
   Inserimos os números fornecidos na equação:
   15^2 = 5^2 + 12^2 - 2(5)(12) \cos(C)
3. Resolução da Equação:
   Primeiro, calculamos os quadrados das medidas:
   225 = 25 + 144 - 120 \cos(C)

Em seguida, somamos os termos conhecidos à direita:
225 = 169 - 120 \cos(C)

Agora, isolamos o termo com o cosseno movendo o 169 para o lado esquerdo:
225 - 169 = -120 \cos(C)
56 = -120 \cos(C)

Dividimos ambos os lados por -120 para encontrar o valor do cosseno:
\cos(C) = \frac{56}{-120}

Simplificando a fração (dividindo por 8):
\cos(C) = -\frac{7}{15} \approx -0.4667

1. Cálculo do Ângulo:
   Aplicamos a função arco-cosseno (\arccos) para encontrar a medida do ângulo:
   C = \arccos\left(-\frac{7}{15}\right)

Calculando o valor em graus:
C \approx 117.79^\circ

Nota: O fato de o cosseno ser negativo indica que o ângulo é obtuso (maior que 90°). Embora o desenho esquemático possa parecer mostrar um ângulo agudo, a matemática confirma que ele é obtuso devido ao comprimento considerável do lado oposto (15) em comparação aos outros lados.

1. Arredondamento:
   A questão solicita o arredondamento para o grau inteiro mais próximo:
   117.79^\circ \rightarrow 118^\circ

Conclusão

Pelo cálculo trigonométrico correto, a medida do ângulo C é 118°.