Conhecendo as medidas da casquinha maior r₁ = 4 e r₂ = 3 e sabendo que a casquinha maior possui altura igual a 10 e volume equivalente ao dobro do volume da casquinha menor, qual é a medida da altura da casquinha menor?

Alternativa E

Para encontrar a altura da casquinha menor, precisamos utilizar a fórmula do volume de um cone e as relações geométricas apresentadas no enunciado.

Análise Matemática

O problema envolve dois cones (as casquinhas de sorvete). Vamos calcular passo a passo:

1. Fórmula do Volume do Cone
   O volume V de um cone é dado pela fórmula:
   V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
   Onde:

• r é o raio da base.
• h é a altura do cone.

1. Cálculo do Volume da Casquinha Maior (V_{maior})
   Dados: Raio r_1 = 4 e Altura H = 10.
   Substituindo na fórmula:
   V_{maior} = \frac{1}{3} \pi (4)^2 (10)
   V_{maior} = \frac{1}{3} \pi (16)(10)
   V_{maior} = \frac{160\pi}{3}
2. Relação entre os Volumes
   O enunciado afirma que o volume da casquinha maior é equivalente ao dobro do volume da casquinha menor (V_{menor}).
   V_{maior} = 2 \cdot V_{menor}

Isolando V_{menor}:
V_{menor} = \frac{V_{maior}}{2}
V_{menor} = \frac{\frac{160\pi}{3}}{2}
V_{menor} = \frac{80\pi}{3}

1. Cálculo da Altura da Casquinha Menor (h)
   Dados: Raio r_2 = 3 e altura incógnita h.
   Aplicamos a fórmula do volume novamente para a casquinha menor:
   V_{menor} = \frac{1}{3} \pi (3)^2 h
   V_{menor} = \frac{1}{3} \pi (9) h
   V_{menor} = 3\pi h

Agora, igualamos o valor encontrado no passo 3 com a expressão do passo 4:
3\pi h = \frac{80\pi}{3}

Para encontrar h, dividimos ambos os lados por $3\pi$:
h = \frac{80\pi}{3 \cdot 3\pi}
h = \frac{80}{9}

Portanto, a altura da casquinha menor é \frac{80}{9}.

Conclusão

A alternativa correta é a E.