Considerando um vetor u = (2, 1) e um vetor v = (-3, 2), encontre a projeção ortogonal de u em v.

Question

Considerando um vetor u = (2, 1) e um vetor v = ( 3, 2), encontre a projeção ortogonal de u em v. A) ( 12/13, 8/13). B) (12/13, 8/13). C) (12/13, 8/13). D) ( 12, 8). E) (12/√13, 8/√13).

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Alternativa B $(12/13, 8/13)$ Conceito e Fórmula A projeção ortogonal de um vetor $u$ sobre um vetor $v$ resulta em um novo vetor que aponta na mesma direção de $v$, mas com magnitude ajustada pela "componente" de $u$ que se alinha com $v$. A fórmula para calcular o vetor de projeção $p$ é: $$ p = \frac{u \cdot v}{\|v\|^2} \cdot v $$ Onde: $u \cdot v$ é o produto escalar entre os vetores. $\|v\|^2$ é o quadrado da norma (módulo) do vetor $v$. $v$ é o vetor sobre o qual estamos projetando. Passo a Passo do Cálculo Dados do problema: Vemtor $u = (2, 1)$ Vemtor $v = ( 3, 2)$ 1. Calcular o Produto Escalar ($u \cdot v$) Multiplicamos as componentes correspondentes e somamos os resultados: $$ u \cdot v = (2)( 3) + (1)(2) $$ $$ u \cdot v = 6 + 2 $$ $$ u \cdot v = 4 $$ 2. Calcular o Quadrado da Norma de $v$ ($\|v\|^2$) Somamos os quadrados das componentes de $v$: $$ \|v\|^2 = ( 3)^2 + (2)^2 $$ $$ \|v\|^2 = 9 + 4 $$ $$ \|v\|^2 = 13 $$ 3. Aplicar na Fórmula da Projeção Substituímos os valores encontrados na fórmula original: $$ p = \frac{ 4}{13} \cdot ( 3, 2) $$ Multiplicamos o escalar $\frac{ 4}{13}$ por cada componente do vetor $v$: $$ p x = \frac{ 4}{13} \cdot ( 3) = \frac{12}{13} $$ $$ p y = \frac{ 4}{13} \cdot (2) = \frac{ 8}{13} $$ Portanto, o vetor projeção é: $$ p = \left(\frac{12}{13}, \frac{ 8}{13}\right) $$ Conclusão O resultado obtido corresponde exatamente à letra B . É importante notar que a projeção pode ter sinais diferentes dos componentes originais dependendo da orientação relativa dos vetores (neste caso, o ângulo entre eles é obtuso, o que explica o sinal negativo inicial do produto escalar, mas ao multiplicar pelo vetor $v$ com componente negativa, obtemos um componente positivo final).

Explicação passo a passo

Conceito e Fórmula

Passo a Passo do Cálculo

1. Calcular o Produto Escalar ( $u \cdot v$ )

2. Calcular o Quadrado da Norma de $v$ ( $\|v\|^2$ )

3. Aplicar na Fórmula da Projeção

Conclusão

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