Considere a função trigonométrica f: ℝ → ℝ, tal que f(x) = 2 ⋅ cos(x). O gráfico dessa função está representado em

Alternativa D

Para identificar o gráfico correto da função f(x) = 2 \cdot \cos(x), devemos analisar suas características principais: amplitude, valor inicial e comportamento nos pontos-chave do ciclo.

Análise da Função Trigonométrica

A função dada é uma função cosseno com um coeficiente multiplicador de 2. Isso altera diretamente a altura da onda em relação ao eixo horizontal.

1. Amplitude: O coeficiente $2$ indica que a oscilação ocorre entre -2 e $2$. Portanto, o máximo do gráfico deve ser y = 2 e o mínimo deve ser y = -2.
2. Valor em x = 0: Sabemos que \cos(0) = 1. Substituindo na função:
   f(0) = 2 \cdot \cos(0) = 2 \cdot 1 = 2
   Isso significa que o gráfico deve começar no seu ponto mais alto no eixo y, ou seja, no ponto (0, 2).
3. Período e Zeros: O período padrão do cosseno é $2\pi$. Os zeros ocorrem quando \cos(x) = 0, ou seja, em x = \frac{\pi}{2} e x = \frac{3\pi}{2}. O mínimo ocorre em x = \pi, onde \cos(\pi) = -1, resultando em f(\pi) = -2.

Comparação com as Alternativas

Vamos verificar os gráficos apresentados nas opções:

• Gráfico A: Começa na origem (0, 0) e sobe. Isso representa uma função seno, não cosseno.
• Gráfico B: O pico máximo é $1$. A amplitude está errada (deveria ser $2$).
• Gráfico C: O valor mínimo toca o eixo x (y=0) em x=\pi. Isso não condiz com f(\pi) = -2.
• Gráfico D:
• Começa em y=2 quando x=0. (Correto)
• Cruzam o eixo x em \frac{\pi}{2} e \frac{3\pi}{2}. (Correto)
• Alcancam o mínimo y=-2 em x=\pi. (Correto)
• Voltam ao máximo y=2 em x=2\pi. (Correto)
• Gráfico E: O pico máximo é $1$. A amplitude está incorreta.

Conclusão

O gráfico D é o único que satisfaz todas as propriedades da função f(x) = 2 \cdot \cos(x), começando no máximo positivo, tendo amplitude $2$ e atingindo o mínimo negativo no meio do período.