Alternativa D
Para resolver esta questão de geometria analítica, precisamos determinar duas coisas independentes: as coordenadas do ponto P e os valores possíveis para x. Vamos analisar cada parte passo a passo.
1. Encontrando as coordenadas do ponto P
O enunciado afirma que o ponto P pertence ao eixo das abscissas (eixo X) e é equidistante dos pontos A(1,2) e B(5,4).
- Como P está no eixo X, sua ordenada (coordenada Y) é zero. Podemos representar P como (p, 0).
- A condição de equidistância significa que a distância de P até A é igual à distância de P até B: d_{PA} = d_{PB}.
Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos ao quadrado para facilitar os cálculos:
(p - 1)^2 + (0 - 2)^2 = (p - 5)^2 + (0 - 4)^2
Desenvolvendo os quadrados:
p^2 - 2p + 1 + 4 = p^2 - 10p + 25 + 16
Simplificando a equação (cancelando p^2 em ambos os lados):
-2p + 5 = -10p + 41
Isolando o termo com p:
8p = 36
p = \frac{36}{8} = \frac{9}{2}
Portanto, as coordenadas de P são $(\frac{9}{2}, 0)$. Isso já elimina as alternativas A, C e E.
2. Encontrando os valores de x
Temos os pontos C(2x, -3x) e D(3, 2), e a distância entre eles é dada por d_{CD} = \sqrt{26}.
Utilizando a fórmula da distância novamente:
d_{CD} = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2}
Substituindo os valores conhecidos:
\sqrt{26} = \sqrt{(3 - 2x)^2 + (2 - (-3x))^2}
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
26 = (3 - 2x)^2 + (2 + 3x)^2
Expandindo os binômios:
26 = (9 - 12x + 4x^2) + (4 + 12x + 9x^2)
Observamos que os termos -12x e +12x se cancelam. Agrupando os termos semelhantes:
26 = 13x^2 + 13
Subtraindo 13 de ambos os lados:
13 = 13x^2
x^2 = 1
Logo, existem duas soluções possíveis para x:
x = \pm 1
Conclusão
Combinando os resultados obtidos:
- Coordenadas de P: (\frac{9}{2}, 0)
- Valores de x: \pm 1
Esses dados correspondem exatamente à alternativa D.