Dados os pontos A(0, 1, −1) e B(1, 2, −1) e os vetores 𝑢⃗ = (−2, −1, 1), 𝑣⃗ = (3, 0, −1) e 𝑤⃗ = (−2, 2, 2), verificar se existem os números a₁, a₂ e a₃ tais que 𝑤⃗ = a₁𝐴𝐵⃗ + a₂𝑢⃗ + a₃𝑣⃗.

Resumo da Resposta

Sim, existem os números reais a_1, a_2 e a_3 tais que a equação vetorial é satisfeita. A análise dos componentes do vetor \vec{w} revela que ele pode ser escrito como combinação linear dos vetores dados.

Análise Detalhada

O problema solicita verificar a existência de escalares a_1, a_2, a_3 para a relação \vec{w} = a_1\overline{AB} + a_2\vec{u} + a_3\vec{v}. Isso equivale a resolver um sistema linear onde o vetor \vec{w} é o resultado da soma ponderada dos outros vetores.

Primeiro, precisamos determinar o vetor \overline{AB} a partir das coordenadas dos pontos A e B:
\overline{AB} = B - A = (1-0, 2-1, -1-(-1)) = (1, 1, 0)

Em seguida, substituímos os valores dos vetores na equação original:
(-2, 2, 2) = a_1(1, 1, 0) + a_2(-2, -1, 1) + a_3(3, 0, -1)

Isso gera um sistema de três equações lineares, uma para cada componente (x, y, z):

1. Eixo x: $1a_1 - 2a_2 + 3a_3 = -2$
2. Eixo y: $1a_1 - 1a_2 + 0a_3 = 2$
3. Eixo z: $0a_1 + 1a_2 - 1a_3 = 2$

Podemos resolver este sistema utilizando o método da substituição ou eliminação. Da equação do eixo y, temos:
a_1 - a_2 = 2 \Rightarrow a_1 = 2 + a_2

Da equação do eixo z, temos:
a_2 - a_3 = 2 \Rightarrow a_3 = a_2 - 2

Substituindo a_1 e a_3 na equação do eixo x:
(2 + a_2) - 2a_2 + 3(a_2 - 2) = -2
2 - a_2 + 3a_2 - 6 = -2
2a_2 - 4 = -2
2a_2 = 2 \Rightarrow a_2 = 1

Com a_2 = 1, encontramos os demais valores:

• a_1 = 2 + 1 = 3
• a_3 = 1 - 2 = -1

Como foi possível encontrar valores únicos para todas as incógnitas sem contradições, a solução existe.

Conclusão

O sistema é consistente e determinado. Portanto, existem sim os números procurados, sendo eles a_1 = 3, a_2 = 1 e a_3 = -1.