Dados os vetores u = (-7,1,3) e v = (5,0,1), marque a alternativa correta.

Alternativa C

Análise Detalhada

Para determinar a relação correta entre os vetores, devemos calcular o produto escalar (também chamado de produto interno). Este cálculo revela se os vetores são ortogonais e fornece a base para identificar o tipo de ângulo formado por eles.

1. Cálculo do Produto Escalar

A fórmula para o produto escalar de dois vetores tridimensionais u = (x_1, y_1, z_1) e v = (x_2, y_2, z_2) é:

Substituindo os valores fornecidos no enunciado (u = (-7, 1, 3) e v = (5, 0, 1)):

2. Verificação das Alternativas

Agora analisamos as opções com base no resultado -32:

• A. Os vetores u e v são ortogonais: Incorreto. Para serem ortogonais, o produto escalar deveria ser exatamente $0$.
• D. u.v = -31 e E. u.v = 32: Incorretos. O cálculo matemático preciso resultou em -32.
• B. O ângulo entre eles é agudo: Incorreto. O cosseno de um ângulo agudo é positivo (> 0). Como o produto escalar é negativo, o ângulo não pode ser agudo.
• C. O ângulo entre eles é obtuso: Correto. Existe uma relação fundamental entre o produto escalar e o cosseno do ângulo \theta entre os vetores:
  u \cdot v = \|u\| \cdot \|v\| \cdot \cos(\theta)
  Como as normas (módulos) são sempre positivas, o sinal do produto escalar determina o sinal do cosseno. Um valor negativo (-32) implica que \cos(\theta) < 0. Isso ocorre quando o ângulo está entre $90^\circ$ e $180^\circ$, ou seja, é um ângulo obtuso.

Conclusão

O produto escalar calculado é -32, o que indica que o cosseno do ângulo é negativo. Portanto, o ângulo formado pelos vetores é obtuso.

A alternativa correta é a C.