Determine a equação das retas assíntotas da hipérbole vertical de centro em (1, 2), excentricidade 2 e eixo imaginário valendo 6.

O resultado correto consiste nas duas retas definidas pela equação geral y - 2 = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}(x - 2).

Desenvolvimento da Resolução

Para resolver este problema, precisamos encontrar os parâmetros geométricos da hipérbole e aplicar a fórmula das assíntotas.

1. Identificação dos Dados:

• O centro da hipérbole é dado por C(h, k) = (2, 2).
• A hipérbole é vertical, o que significa que seu eixo transverso está alinhado ao eixo Y.
• A excentricidade é e = 2.
• O eixo imaginário vale $6$. Sabemos que o comprimento do eixo imaginário é $2b$, logo $2b = 6 \Rightarrow b = 3$.

1. Cálculo do Semi-eixo Transverso (a):
   Utilizamos a relação fundamental da hipérbole entre os semi-eixos e a distância focal c:
   c^2 = a^2 + b^2

Também sabemos que a excentricidade é dada por e = \frac{c}{a}, ou seja, c = a \cdot e. Substituindo c na primeira equação:
(a \cdot e)^2 = a^2 + b^2
a^2 \cdot e^2 = a^2 + b^2

Substituindo os valores conhecidos (e = 2 e b = 3):
a^2 \cdot 2^2 = a^2 + 3^2
4a^2 = a^2 + 9
3a^2 = 9 \Rightarrow a^2 = 3 \Rightarrow a = \sqrt{3}

1. Determinação das Retas Assíntotas:
   Para uma hipérbole vertical, a inclinação (m) das assíntotas é dada pela razão \pm \frac{a}{b}.
   m = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}

Utilizando a equação da reta no formato ponto-inclinação y - y_1 = m(x - x_1) com o centro (2, 2):
y - 2 = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}(x - 2)

Análise

• Orientação da Hipérbole: A hipérbole vertical tem o termo positivo associado à variável y. Isso inverte a razão da inclinação das assíntotas comparada à hipérbole horizontal.
• Relação Paramétrica: É crucial lembrar que c^2 = a^2 + b^2 e não c^2 = a^2 - b^2 (esta última é para elipse).
• Eixo Imaginário: Em algumas convenções, o eixo imaginário refere-se ao eixo conjugado ($2b$). Confundir a e b alteraria a inclinação da reta.
• Cálculo Algébrico: A resolução exige manipulação algébrica cuidadosa para isolar a antes de calcular a inclinação.

Conclusão

A determinação das equações depende corretamente da identificação do semi-eixo transverso a através da excentricidade. Com a = \sqrt{3} e b = 3, as retas assíntotas passam pelo centro (2,2) com coeficientes angulares opostos \pm \frac{\sqrt{3}}{3}.