Determine um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores u = (-1,-1,-1) e v = (2,0,2).

Alternativa E

Para encontrar um vetor que seja simultaneamente ortogonal (perpendicular) a dois vetores dados no espaço tridimensional, utilizamos o produto vetorial. O resultado desse cálculo será um vetor novo que forma ângulos de 90 graus com os dois vetores originais.

Análise do Problema

Dados os vetores:

• u = (-1, -1, -1)
• v = (2, 0, 2)

O produto vetorial w = u \times v pode ser calculado através do determinante de uma matriz onde a primeira linha são os vetores unitários \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} e as outras duas linhas são as coordenadas dos vetores u e v.

Passo a passo do cálculo:

1. Componente \mathbf{i} (primeira coordenada):
   Multiplicamos os elementos cruzados da segunda e terceira linhas nas colunas 2 e 3.
   ((-1) \cdot 2) - ((-1) \cdot 0) = -2 - 0 = -2
2. Componente \mathbf{j} (segunda coordenada):
   Multiplicamos os elementos cruzados na coluna 1 e 3, lembrando que esta componente recebe um sinal negativo na expansão do determinante.
   - [((-1) \cdot 2) - ((-1) \cdot 2)] = - [-2 - (-2)] = - [-2 + 2] = 0
3. Componente \mathbf{k} (terceira coordenada):
   Multiplicamos os elementos cruzados nas colunas 1 e 2.
   ((-1) \cdot 0) - ((-1) \cdot 2) = 0 - (-2) = 2

Portanto, o vetor resultante é w = (-2, 0, 2).

Verificação pela Definição de Ortogonalidade

Podemos confirmar que este vetor é ortogonal verificando se o produto escalar dele com os vetores originais é igual a zero.

• Com u: (-1)(-2) + (-1)(0) + (-1)(2) = 2 + 0 - 2 = 0
• Com v: (2)(-2) + (0)(0) + (2)(2) = -4 + 0 + 4 = 0

Como os produtos escalares resultaram em zero, o vetor encontrado é de fato ortogonal a ambos.

Conclusão

O vetor calculado corresponde exatamente à alternativa E.