Em um triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em C, o lado BC mede 6 e o ângulo B mede 40°. Calcule o comprimento do lado AC, arredondando a resposta para o centésimo mais próximo.

Resumo da Resposta

O valor do segmento AC é aproximadamente 5.03.

Desenvolvimento

Para resolver este problema, utilizamos trigonometria básica aplicada a triângulos retângulos. Identificamos os lados conhecidos e desconhecidos em relação ao ângulo dado de $40^\circ$ e aplicamos a função tangente para encontrar o cateto oposto.

Passo a Passo do Cálculo

• Identificação do Triângulo: Temos um triângulo retângulo com ângulo reto em C.
• Referência Angular: O ângulo conhecido é de $40^\circ$ no vértice B.
• Definição dos Lados:
• Cateto Adjacente: O lado que toca o ângulo de $40^\circ$ (exceto a hipotenusa) é CB, com comprimento $6$.
• Cateto Oposto: O lado que não toca o ângulo de $40^\circ$ é AC, que queremos descobrir.
• Escolha da Função Trigonométrica: A função que relaciona o cateto oposto e o cateto adjacente é a Tangente (\tan).
  \tan(\theta) = \frac{\text{Cateto Oposto}}{\text{Cateto Adjacente}}
• Aplicação da Fórmula:
  Substituindo os valores na equação:
  \tan(40^\circ) = \frac{AC}{6}
• Isolamento da Incógnita: Multiplicamos ambos os lados por $6$:
  AC = 6 \times \tan(40^\circ)
• Cálculo Numérico:
  Sabendo que \tan(40^\circ) \approx 0.8391:
  AC \approx 6 \times 0.8391
  AC \approx 5.0346
• Arredondamento: O enunciado pede para arredondar para o centésimo mais próximo (duas casas decimais). O terceiro dígito é $4$, então mantemos o segundo dígito como está.
  AC \approx 5.03

Conclusão

Utilizando a propriedade da tangente no triângulo retângulo, determinamos que o comprimento do lado AC é 5.03.