Escrever as equações paramétricas e simétricas do ponto P(1, 2, 1) e o plano x - y + 2z - 1 = 0

Question

Escrever as equações paramétricas e simétricas do ponto P(1, 2, 1) e o plano x y + 2z 1 = 0

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Resolução da Questão

Esta questão pede as equações paramétricas e simétricas de uma reta que passa pelo ponto $P(1,2,1)$ e é perpendicular ao plano $x - y + 2z - 1 = 0$ .

## Identificação dos Dados

Elemento	Informação
Ponto	$P(1, 2, 1)$
Plano	$x - y + 2z - 1 = 0$
Direção	Vetor normal ao plano

## Visualização do Problema

Imagine:

Um plano no espaço 3D definido pela equação dada
Um ponto específico sobre este plano ou fora dele
Uma reta perpendicular ao plano passando por esse ponto
A direção desta reta será paralela ao vetor normal do plano

## Encontrando o Vetor Diretor

Para um plano na forma geral $ax + by + cz + d = 0$ , o vetor normal $\vec{n}$ é dado por:

\vec{n} = (a, b, c)

No nosso caso, comparando com $x - y + 2z - 1 = 0$ :

\vec{n} = (1, -1, 2)

Como a reta é perpendicular ao plano, seu vetor diretor $\vec{v}$ é igual ao vetor normal:

\vec{v} = (1, -1, 2)

## Equações Paramétricas

As equações paramétricas de uma reta são:

\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}

Onde $(x_0, y_0, z_0)$ é um ponto da reta e $(a, b, c)$ é o vetor diretor.

Substituindo os valores $P(1,2,1)$ e $\vec{v}(1,-1,2)$ :

\boxed{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 1 + 2t \end{cases}}

## Equações Simétricas

As equações simétricas são obtidas isolando o parâmetro $t$ :

\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}

Substituindo os valores:

\boxed{\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{2}}

## Verificação

Podemos verificar se o ponto $P(1,2,1)$ satisfaz as equações:

Equação	Substituição	Resultado
$x = 1 + t$	$1 = 1 + 0$	✓ Para $t = 0$
$y = 2 - t$	$2 = 2 - 0$	✓ Para $t = 0$
$z = 1 + 2t$	$1 = 1 + 0$	✓ Para $t = 0$

## Conclusão

A resposta completa é:

Equações Paramétricas:
$\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 1 + 2t \end{cases}$

Equações Simétricas:
$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{2}$

## Resumo Didático

O vetor normal do plano fornece a direção da reta perpendicular
As equações paramétricas expressam cada coordenada em função de um parâmetro $t$
As equações simétricas eliminam o parâmetro, igualando as razões
Sempre verifique se o ponto dado satisfaz as equações encontradas

Explicação passo a passo

Resumo da resposta