In Figure 3: $h = BH$ is the height of a cone, $l = BC$ is its slant height and $x = BD$ is the difference between the height of the cone and the height of the cylinder to be equal to the lateral surface of the cylinder, it is necessary that

Alternativa D

Para encontrar a relação correta para x, devemos igualar a área lateral do pequeno cone superior à área lateral do cilindro inscrito.

Introdução ao Problema

O enunciado descreve um cone maior de altura h e geratriz l, contendo um cilindro inscrito.

• A variável x representa a altura da parte do cone acima do cilindro.
• A altura do cilindro é, portanto, h - x.
• Ambos compartilham o mesmo raio de base, denotado aqui como r.

Desenvolvimento Matemático

Utilizamos as propriedades de semelhança geométrica e fórmulas de área para estabelecer a equação.

1. Relação de Semelhança:
   O pequeno cone (superior) é semelhante ao cone inteiro. A razão entre suas alturas é igual à razão entre suas geratrizes. Se chamarmos a geratriz do pequeno cone de l':
   \frac{x}{h} = \frac{l'}{l} \Rightarrow l' = \frac{l \cdot x}{h}
2. Fórmulas de Área Lateral:

• Pequeno Cone: S_{cone} = \pi \cdot r \cdot l'
• Cilindro: S_{cilindro} = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot (h - x)

1. Igualdade das Áreas:
   O problema exige que S_{cone} = S_{cilindro}. Substituindo as expressões:
   \pi \cdot r \cdot \left( \frac{l \cdot x}{h} \right) = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot (h - x)

Análise da Equação

Podemos simplificar a equação resolvendo passo a passo:

• Cancelamos o termo comum \pi \cdot r em ambos os lados (sabendo que r \neq 0):
  \frac{l \cdot x}{h} = 2(h - x)
• Multiplicamos toda a equação por h para eliminar o denominador:
  l \cdot x = 2h(h - x)
• Distribuímos o $2h$ no lado direito:
  lx = 2h^2 - 2hx
• Agrupamos os termos que contêm x no lado esquerdo:
  lx + 2hx = 2h^2
• Colocamos x em evidência:
  x(l + 2h) = 2h^2
• Isolamos x dividindo pelo coeficiente:
  x = \frac{2h^2}{l + 2h}

Conclusão

A expressão obtida para x corresponde exatamente à alternativa (d).

Alternativa D