Lúcia é uma artista plástica que decidiu criar uma instalação composta inteiramente por prismas de vidro transparente. Cada prisma tem 2 metros de altura e uma base hexagonal regular, com todas as arestas medindo exatamente 1 metro. Para a montagem final da obra, Lúcia planeja unir os prismas pelas suas faces, formando uma estrutura tridimensional complexa. Ela precisa calcular a área total da superfície de um único prisma para estimar a quantidade de vidro necessária. Para a criação pensada por Lúcia, serão necessários 20 desses prismas. Qual é, aproximadamente, a área de superfície total de cada prisma hexagonal regular utilizado por Lúcia?

Alternativa B - $17,2 \text{ m}^2$

Para resolver esta questão, precisamos calcular a Área Total (A_t) de um único prisma hexagonal regular, ignorando a informação sobre a quantidade de 20 prismas, pois a pergunta foca no unitário.

Passo a Passo do Cálculo

A área total de um prisma é dada pela soma da área lateral com a área das duas bases:
A_t = A_l + 2 \cdot A_b

1. Cálculo da Área Lateral (A_l)

O prisma possui 6 faces laterais retangulares (pois a base é hexagonal).

• Perímetro da base (P): Como o hexágono tem 6 lados de $1 \text{ m}, o perímetro é $6 \times 1 \text{ m} = 6 \text{ m}.
• Altura do prisma (h): $2 \text{ m}$.
• Fórmula: A_l = P \cdot h
• Cálculo: A_l = 6 \text{ m} \times 2 \text{ m} = \mathbf{12 \text{ m}^2}

2. Cálculo da Área da Base (A_b)

A base é um hexágono regular. A área de um hexágono regular pode ser calculada somando-se a área de 6 triângulos equiláteros formados pelo centro até os vértices.

• Lado (a): $1 \text{ m}$.
• Fórmula da área do hexágono: A_b = \frac{3 \cdot a^2 \cdot \sqrt{3}}{2}
• Substituição: A_b = \frac{3 \cdot (1)^2 \cdot 1,73}{2} (usando \sqrt{3} \approx 1,73)
• Cálculo: A_b = \frac{3 \cdot 1,73}{2} = \frac{5,19}{2} = \mathbf{2,595 \text{ m}^2}

3. Cálculo da Área Total (A_t)

Agora somamos a área lateral com o dobro da área da base:

• A_t = 12 + 2 \cdot (2,595)
• A_t = 12 + 5,19
• A_t = 17,19 \text{ m}^2

Arredondando para uma casa decimal, obtemos $17,2 \text{ m}^2$.

Análise das Distratores

É importante notar onde outros alunos podem errar:

• Alternativa A ($5,2 \text{ m}^2$): Corresponde apenas à área das duas bases ($2 \cdot A_b$), sem considerar a parte lateral.
• Alternativa E ($12,0 \text{ m}^2$): Corresponde apenas à área lateral (A_l), esquecendo-se de fechar o prisma com as bases superior e inferior.
• Alternativa D ($2,6 \text{ m}^2$): Corresponde apenas à área de uma única base (A_b).