Marque a alternativa abaixo que representa a equação de uma hipérbole ou duas retas concorrentes.

Question

Marque a alternativa abaixo que representa a equação de uma hipérbole ou duas retas concorrentes. A) 2x² + 2y² 4xy + 4y + 10 = 0. B) x² + y² 5x + 4y + 10 = 0. C) 2x² + y² 5x + 4y + 10 = 0. D) 2x² + y² + xy 5x + 4y + 10 = 0. E) 2x² y² 4xy 5x + 4y + 10 = 0.

Sapien IA · Accepted Answer

Análise da Questão

Para identificar se uma equação do segundo grau representa uma hipérbole (ou duas retas concorrentes), devemos utilizar o discriminante da equação geral das cônicas.

A forma geral é dada por:
$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$

O critério de classificação baseia-se no valor de $\Delta = B^2 - 4AC$ :

Se $\Delta > 0$ : Representa uma Hipérbole (ou duas retas concorrentes).
Se $\Delta = 0$ : Representa uma Parábola (ou duas retas paralelas).
Se $\Delta < 0$ : Representa uma Elipse (ou circunferência).

Analise das Alternativas

Vamos calcular $\Delta = B^2 - 4AC$ para cada opção, identificando os coeficientes $A$ , $B$ e $C$ :

Alternativa	Coeficientes $(A, B, C)$	Cálculo de $\Delta = B^2 - 4AC$	Resultado	Tipo de Cônica
A	$2, -4, 2$	$(-4)^2 - 4(2)(2) = 16 - 16$	$0$	Parábola
B	$1, 0, 1$	$0^2 - 4(1)(1) = -4$	$-4$	Elipse
C	$2, 0, 1$	$0^2 - 4(2)(1) = -8$	$-8$	Elipse
D	$2, 1, 1$	$1^2 - 4(2)(1) = 1 - 8$	$-7$	Elipse
E	$2, -4, -1$	$(-4)^2 - 4(2)(-1) = 16 + 8$	$24$	Hipérbole

Nota na alternativa E: Reorganizando a equação $2x^2 - y^2 - 4xy - 5x + 4y + 10 = 0$, temos $A=2$ , $B=-4$ e $C=-1$ . O cálculo fica $16 - (-8) = 24$.

Como a questão pede uma hipérbole ou duas retas concorrentes, precisamos de um discriminante positivo ( $\Delta > 0$ ). Apenas a alternativa E satisfaz essa condição.

Alternativa E

Explicação passo a passo

Análise da Questão

Analise das Alternativas

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