Resolução da Questão
O objetivo é encontrar o valor de x que maximiza a soma das áreas dos quadriláteros AQPR e PSCD. Vamos analisar geometricamente cada região e expressar suas áreas em função de x.
1. Definição das Variáveis e Relações Geométricas
Considere o retângulo ABCD com largura AB = l e altura BC = L.
O ponto P está sobre a diagonal BD.
A variável x representa a distância do ponto P ao lado AB (segmento PQ).
Portanto:
- Altura do retângulo superior AQPR: AR = PQ = x.
- Altura restante até a base CD: h_{trap} = L - x.
Utilizando semelhança de triângulos com a diagonal BD:
- O triângulo BSP (superior direito) é semelhante ao triângulo BCD.
\frac{BS}{BC} = \frac{SP}{CD} \Rightarrow \frac{x}{L} = \frac{SP}{l} \Rightarrow SP = \frac{l}{L}x - O segmento RP (largura do retângulo superior) é igual a l - SP:
RP = l - \frac{l}{L}x = \frac{l}{L}(L - x)
2. Cálculo das Áreas
Área do Retângulo AQPR (A_1):
É um retângulo cujos lados são x e RP.
A_1 = x \cdot RP = x \cdot \frac{l}{L}(L - x)
Área do Trapézio PSCD (A_2):
É um trapézio retângulo com bases paralelas SP e CD, e altura vertical L - x.
- Base maior (CD): l
- Base menor (SP): \frac{l}{L}x
- Altura: L - x
A_2 = \frac{CD + SP}{2} \cdot \text{altura} = \frac{l + \frac{l}{L}x}{2} \cdot (L - x)
Simplificando:
A_2 = \frac{l}{2} \left( 1 + \frac{x}{L} \right) (L - x) = \frac{l}{2L} (L + x)(L - x) = \frac{l}{2L} (L^2 - x^2)
3. Função Soma e Maximização
A área total S(x) é a soma de A_1 e A_2:
S(x) = \frac{l}{L}(Lx - x^2) + \frac{l}{2L}(L^2 - x^2)
Fatorando \frac{l}{L}:
S(x) = \frac{l}{L} \left[ (Lx - x^2) + \frac{1}{2}(L^2 - x^2) \right]
S(x) = \frac{l}{L} \left[ -\frac{3}{2}x^2 + Lx + \frac{L^2}{2} \right]
Para encontrar o máximo, derivamos em relação a x e igualamos a zero (ou usamos a fórmula do vértice da parábola x_v = \frac{-b}{2a}):
- Coeficiente de x^2 (a): -\frac{3}{2}
- Coeficiente de x (b): L
x_{máximo} = \frac{-L}{2 \cdot (-\frac{3}{2})} = \frac{-L}{-3} = \frac{L}{3}
Análise
| Passo | Descrição | Resultado |
|---|
| Geometria | Relação entre x e larguras via semelhança | SP = \frac{l}{L}x |
| Áreas | Soma das áreas dos polígonos | S(x) = \frac{l}{L}(-\frac{3}{2}x^2 + Lx + \dots) |
| Máximo | Vértice da parábola | x = L/3 |
A função quadrática tem concavidade para baixo (coeficiente negativo), garantindo que o vértice seja um ponto de máximo. O valor encontrado está dentro do intervalo possível ($0 < x < L$).
Alternativa (d).