Resumo:
A área da zona sombreada é calculada subtraindo a área do pentágono regular da área total da circunferência, resultando em aproximadamente 18,5.
Para resolver este problema de geometria plana, precisamos encontrar a diferença entre a área do círculo inteiro e a área da figura geométrica inscrita nele (o pentágono).
A estratégia básica é:
\text{Área Sombreada} = \text{Área da Circunferência} - \text{Área do Pentágono Regular}
Análise Detalhada
Vamos calcular cada parte separadamente utilizando os dados fornecidos no enunciado:
- Raio da circunferência (r): 5
- Área do triângulo [SOR]: 12
Passo 1: Calcular a Área da Circunferência
A fórmula para a área de uma circunferência é A = \pi r^2.
Substituindo o valor do raio (r=5):
A_{circ} = \pi \times 5^2 = 25\pi
Utilizando o valor aproximado de \pi \approx 3,14159:
A_{circ} \approx 25 \times 3,14159 \approx 78,54
Passo 2: Calcular a Área do Pentágono
O pentágono regular [PQRST] está inscrito na circunferência. Isso significa que podemos dividir o pentágono em 5 triângulos congruentes (iguais), unindo o centro O a cada par de vértices consecutivos.
O triângulo [SOR] é exatamente um desses 5 triângulos. Portanto, a área total do pentágono é 5 vezes a área desse triângulo.
\text{Área}_{pent} = 5 \times \text{Área}([SOR])
\text{Área}_{pent} = 5 \times 12 = 60
Passo 3: Calcular a Área Sombreada
Agora, basta subtrair a área do pentágono da área da circunferência.
\text{Área Sombreada} = A_{circ} - \text{Área}_{pent}
\text{Área Sombreada} \approx 78,54 - 60
\text{Área Sombreada} \approx 18,54
Passo 4: Arredondamento
O enunciado solicita o valor arredondado às décimas (uma casa decimal).
18,54 \rightarrow 18,5
Alternativa Final:
O valor numérico correto é 18,5.