Na figura seguir, considere a reta r paralela ao lado AB. Determine o valor positivo de x.

Alternativa A - 3

Para resolver esta questão, utilizaremos o conceito de Semelhança de Triângulos, que decorre diretamente do Teorema Fundamental da Semelhança.

Análise do Problema

Observe que a reta r é paralela ao lado \overline{AB}. Isso cria dois triângulos semelhantes:

• O triângulo menor: \Delta CDE
• O triângulo maior: \Delta CAB

Como eles são semelhantes, as razões entre seus lados correspondentes são iguais.

Passo a Passo

1. Identificar os lados correspondentes:

• O segmento DE corresponde ao segmento AB.
• O segmento CE corresponde ao segmento CB.

1. Calcular o comprimento total do lado CB:
   Sabemos que CB é formado pela soma dos segmentos CE e EB:
   CB = CE + EB
   CB = 3y + y = 4y
2. Montar a proporção:
   A relação entre os lados opostos ao ângulo comum C é:
   \frac{DE}{AB} = \frac{CE}{CB}
3. Substituir os valores conhecidos:
   \frac{x^2}{12} = \frac{3y}{4y}
4. Resolver a equação:
   Primeiro, simplificamos a fração onde está y:
   \frac{3y}{4y} = \frac{3}{4}

Agora, igualamos à outra parte:
\frac{x^2}{12} = \frac{3}{4}

Multiplicamos cruzado para isolar x^2:
4 \cdot x^2 = 12 \cdot 3
4x^2 = 36
x^2 = \frac{36}{4}
x^2 = 9

Finalmente, tiramos a raiz quadrada (considerando apenas o valor positivo):
x = \sqrt{9}
x = 3

Conclusão

O valor positivo de x é 3.