O desenvolvimento de sistemas de automação e controles de processos físicos depende da representação no espaço do estado por meio do conhecimento de todas as variáveis envolvidas. Considere a matriz de estado definida abaixo. O produto dessa matriz pela sua matriz inversa produzirá um resultado igual a: A = [-4 -5]

Alternativa C

O problema solicita o resultado do produto de uma matriz A pela sua respectiva matriz inversa A^{-1}. Para resolver esta questão, basta conhecer a propriedade fundamental das matrizes inversas, sem necessidade de realizar cálculos complexos de determinantes.

Fundamentação Teórica

Na álgebra linear, a definição de matriz inversa estabelece que, para qualquer matriz quadrada A que possua inversa, o produto desta matriz pela sua inversa resulta sempre na Matriz Identidade (I).

Matematicamente, isso é expresso pela fórmula:
A \cdot A^{-1} = I

Características da Matriz Identidade (I)

A matriz identidade é uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são 0. Para uma matriz de ordem $2 \times 2$ (como a apresentada no enunciado), a matriz identidade é:

Análise das Alternativas

• A) Representa a própria matriz original A.
• B) Não corresponde a nenhum padrão matricial conhecido (nem identidade, nem nula).
• C) Apresenta 1 na diagonal principal e 0 fora dela. Isso é exatamente a definição da matriz identidade I_2.
• D) É uma matriz de permutação, não a identidade.
• E) Parece ser parte do cálculo da adjunta, mas não é o resultado final esperado.

Portanto, independentemente dos valores numéricos da matriz A, o produto A \cdot A^{-1} será sempre a matriz identidade.

Alternativa C.