Alternativa A
A questão envolve a resolução de um triângulo retângulo utilizando conceitos de trigonometria. Para encontrar os valores dos catetos h (altura) e c (comprimento), utilizaremos as razões trigonométricas seno e cosseno em relação ao ângulo de $15^\circ$.
Análise Detalhada
- Identificação dos elementos:
- Temos um triângulo retângulo com hipotenusa igual a $12\text{ m}$.
- Um dos ângulos agudos é $15^\circ$ (inferior direito).
- O outro ângulo agudo é $75^\circ$ (superior esquerdo), pois $90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$.
- h é o cateto oposto ao ângulo de $15^\circ$.
- c é o cateto adjacente ao ângulo de $15^\circ$.
- Fórmulas Trigonométricas:
- Para h: \sin(15^\circ) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} \Rightarrow h = 12 \cdot \sin(15^\circ)
- Para c: \cos(15^\circ) = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}} \Rightarrow c = 12 \cdot \cos(15^\circ)
- Cálculo das Razões Trigonométricas:
Precisamos calcular \sin(15^\circ) e \cos(15^\circ). Utilizamos a fórmula do arco metade ou soma de ângulos ($45^\circ - 30^\circ$):
\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
\cos(15^\circ) = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
Sabendo que \sqrt{6} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}, substituimos pelos valores aproximados fornecidos (\sqrt{2} = 1,4 e \sqrt{3} = 1,7):
\sqrt{6} \approx 1,4 \cdot 1,7 = 2,38
- Substituição nos cálculos de h e c:
Calculando h:
h = 12 \cdot \left( \frac{2,38 - 1,4}{4} \right)
h = 3 \cdot (0,98)
h = 2,94\text{ m}
Calculando c:
c = 12 \cdot \left( \frac{2,38 + 1,4}{4} \right)
c = 3 \cdot (3,78)
c = 11,34\text{ m}
Portanto, a altura h é $2,94\text{ m}$ e o comprimento c é $11,34\text{ m}$.
Conclusão
Os valores encontrados correspondem exatamente à Alternativa A.