O farol de automóveis é composto por uma superfície parabólica, espelhada internamente, o que faz com que os raios de luz que refletirem no espelho saiam todos paralelos ao eixo de simetria da superfície parabólica. Isso se deve à propriedade refletora da parábola. Observe a imagem a seguir que ilustra essa situação a partir de uma seção transversal de um farol. Um engenheiro está desenvolvendo o farol de um novo modelo de carro e, para isso, utiliza uma função quadrática para utilizar seu gráfico como base para a superfície parabólica do farol. A função utilizada por esse engenheiro é f(x) = x² - 6x + 5. Sabendo que as raízes x₁ e x₂ determinam as extremidades da parábola utilizada na confecção do farol, determine x₁, x₂ e a profundidade do farol.

Análise da Questão

A questão propõe um problema prático envolvendo a geometria analítica, utilizando a função quadrática para modelar a seção transversal de um farol automotivo. Para resolver, precisamos encontrar dois elementos principais: as raízes da função (que representam as larguras/extremidades) e a profundidade (relacionada ao vértice da parábola).

Cálculo das Raízes (x_1 e x_2)

As raízes da função indicam os pontos onde o gráfico corta o eixo horizontal (y=0). No contexto do farol, isso representa a largura da abertura.

Para encontrar as raízes de f(x) = x^2 - 6x + 5, igualamos a função a zero:

Podemos utilizar a soma e o produto das raízes:

• Soma (S): -\frac{b}{a} = -\frac{-6}{1} = 6
• Produto (P): \frac{c}{a} = \frac{5}{1} = 5

Precisamos de dois números que, somados, dêem 6 e multiplicados, dêem 5. Esses números são 1 e 5. Portanto, as raízes são x_1 = 1 e x_2 = 5.

Cálculo da Profundidade

A profundidade do farol corresponde à distância vertical entre a "boca" do farol (localizada no eixo x, onde y=0) e o ponto mais profundo (o vértice da parábola).

Como a função é f(x) = ax^2 + bx + c com a=1 (positivo), a parábola tem concavidade voltada para cima. O vértice será o ponto de menor valor de y. A profundidade física será o módulo desse valor (|y_v|).

Calculamos a ordenada do vértice (y_v) usando a fórmula:

Primeiro, calculamos o discriminante (\Delta):
\Delta = b^2 - 4ac
\Delta = (-6)^2 - 4(1)(5)
\Delta = 36 - 20 = 16

Agora, substituímos na fórmula do y_v:
y_v = \frac{-16}{4(1)} = -4

Isso indica que o vértice está localizado em y = -4. Como a profundidade é uma medida de distância, tomamos o valor absoluto:
\text{Profundidade} = |-4| = 4 \text{ u.m.}

Resumo da Solução

• Raízes (x_1, x_2): 1 e 5
• Profundidade (y_v): 4 u.m.

Com esses dados, verificamos as alternativas disponíveis. A alternativa que contém as raízes 1 e 5 e a profundidade 4 é a correta.

Alternativa B