O perímetro é obtido pela soma dos lados de um polígono. Qual o resultado desse perímetro na forma fatorada?

Alternativa: Expressão $(a+b)(y+n)$

A questão solicita o cálculo do perímetro de um quadrilátero representado na figura e pede que o resultado seja apresentado na forma fatorada. Para chegar à resposta correta, precisamos seguir dois passos principais: somar os lados para encontrar o perímetro e, em seguida, aplicar técnicas de fatoração algébrica.

Análise Matemática

1. Cálculo do Perímetro

O enunciado define corretamente que o perímetro é a soma dos comprimentos de todos os lados do polígono. Identificando os lados na figura, temos:

• Lado AB = ya
• Lado BC = an
• Lado CD = yb
• Lado DA = bn

Somando esses valores, obtemos a expressão inicial do perímetro (P):
P = ya + an + yb + bn

2. Fatoração da Expressão

Para transformar essa soma em uma multiplicação (forma fatorada), utilizamos o método de agrupamento. O objetivo é encontrar fatores comuns entre os termos.

Observe que podemos agrupar os termos de duas maneiras diferentes, ambas levando ao mesmo resultado:

• Primeiro agrupamento (por variável a e b):
• Agrupamos ya e an, tirando a em evidência: a(y + n)
• Agrupamos yb e bn, tirando b em evidência: b(y + n)

Juntando tudo:
P = a(y + n) + b(y + n)

Agora, notamos que (y + n) é um fator comum entre os dois termos. Retirando-o em evidência:
P = (y + n)(a + b)

• Segundo agrupamento (por variável y e n):
• Agrupamos ya e yb, tirando y em evidência: y(a + b)
• Agrupamos an e bn, tirando n em evidência: n(a + b)

Juntando tudo:
P = y(a + b) + n(a + b)

Retirando (a + b) em evidência:
P = (a + b)(y + n)

Conclusão

Ambos os métodos de agrupamento confirmam que a forma fatorada correta para o perímetro é o produto de dois binômios: (a + b) e (y + n).

Portanto, a alternativa correta deve conter a expressão:
(a + b)(y + n)