O professor de matemática apresentou aos seus estudantes o triângulo ABC na malha quadriculada juntamente com o ponto P externo ao triângulo, conforme a figura. O professor orientou seus estudantes a criarem o triângulo A'B'C' gerado pela rotação isométrica de ABC ao redor de P com giro de 90° no sentido horário. Qual das representações, a seguir, apresenta a transformação orientada pelo professor?

Alternativa B (Referente à segunda opção apresentada na imagem)

Para resolver esta questão de geometria plana, precisamos compreender o conceito de rotação isométrica. Uma rotação move todos os pontos de uma figura em torno de um centro fixo (neste caso, o ponto P) mantendo as distâncias e ângulos internos, alterando apenas a posição e orientação no plano.

A transformação solicitada é de 90° no sentido horário. Isso significa que devemos girar o triângulo ABC na mesma direção que os ponteiros de um relógio, partindo do ponto P.

Passo a Passo da Construção

1. Identificação do Centro: O ponto P é o eixo de rotação. Ele não se move; todo o triângulo gira ao seu redor.
2. Orientação da Base (AB):

• No triângulo original, a base AB é horizontal.
• Ao aplicar uma rotação de $90^\circ$, uma linha horizontal torna-se vertical.
• Portanto, a nova base A'B' deve ser vertical.

1. Sentido da Rotação (Horário vs. Anti-horário):

• Imagine o vetor que liga A a B (apontando para a direita).
• Ao girar $90^\circ$ horário, esse vetor deve apontar para baixo.
• Consequentemente, o vértice A (originalmente à esquerda) deve terminar acima do vértice B (originalmente à direita).
• A nova configuração deve ter A' no topo e B' na base inferior.

1. Posição Relativa:

• O triângulo original está localizado na região inferior e esquerda em relação a P.
• Ao girar $90^\circ$ horário, a região "inferior" torna-se "esquerda" e a região "esquerda" torna-se "superior".
• Logo, o novo triângulo deve aparecer à esquerda e acima do ponto P.

Análise das Alternativas

Comparando os critérios lógicos acima com as imagens fornecidas:

• Alternativa (A): Apresenta a base vertical, mas a orientação é de baixo para cima (A' embaixo, B' em cima). Isso caracteriza uma rotação de $90^\circ$ anti-horária. Portanto, está incorreta.
• Segunda Opção: Apresenta a base vertical com orientação de cima para baixo (A' em cima, B' embaixo) e posiciona o triângulo à esquerda de P, respeitando a rotação horária. Esta é a representação correta.

Conclusão

A transformação orientada pelo professor resulta no triângulo apresentado na segunda figura da lista, que demonstra corretamente a mudança de orientação da base de horizontal para vertical (descendo) e a posição relativa adequada após o giro horário.