Alternativa C
Resumo da Solução
A resposta correta é a Alternativa C. A análise baseia-se no comportamento das funções trigonométricas (Seno e Cosseno) quando o ângulo de um triângulo retângulo aumenta, mantendo a hipotenusa fixa. Apenas esta alternativa apresenta o crescimento correto do cateto oposto e a redução correta do cateto adjacente.
Desenvolvimento
1. Entendendo o Cenário
O problema descreve um triângulo retângulo em um software de geometria dinâmica.
- Restrição: A hipotenusa mantém seu comprimento fixo (H = 10 \text{ cm}).
- Variável: O ângulo de $20^\circ$ sofre alteração. O enunciado diz que a medida foi dobrada, logo, o novo ângulo é \alpha = 2 \times 20^\circ = 40^\circ.
2. Comportamento Trigonométrico
Em um triângulo retângulo com hipotenusa fixa, ao aumentarmos um dos ângulos agudos:
- O cateto oposto aumenta (pois o seno é crescente no primeiro quadrante).
- O cateto adjacente diminui (pois o cosseno é decrescente no primeiro quadrante).
3. Análise dos Dados Originais
No triângulo inicial ($20^\circ$):
- Cateto oposto (a_{\text{orig}}) = $3,4 \text{ cm}$
- Cateto adjacente (b_{\text{orig}}) = $9,1 \text{ cm}$
4. Previsão para o Novo Triângulo ($40^\circ$)
Como o ângulo aumentou para $40^\circ$:
- O novo cateto oposto ($a$) deve ser maior que $3,4 \text{ cm}$.
- O novo cateto adjacente ($b$) deve ser menor que $9,1 \text{ cm}$.
(Nota técnica: O cálculo exato seria a \approx 10 \cdot \sin(40^\circ) \approx 6,43 \text{ cm} e b \approx 10 \cdot \cos(40^\circ) \approx 7,66 \text{ cm}. Embora os valores das alternativas não coincidam exatamente com estes cálculos, a lógica de variação é o critério decisivo).
Análise das Alternativas
Vamos verificar quais opções obedecem à tendência lógica identificada acima:
| Alternativa | Medida de a (Oposto) | Tendência | Medida de b (Adjacente) | Tendência | Avaliação |
|---|
| Original | $3,4 \text{ cm}$ | - | $9,1 \text{ cm}$ | - | Base |
| (A) | $4,20 \text{ cm}$ | Aumenta (+) | $9,13 \text{ cm}$ | Aumenta (+) | ❌ Incorreta (o adjacente deveria diminuir) |
| (B) | $2,31 \text{ cm}$ | Diminui (-) | $16,56 \text{ cm}$ | Aumenta (+) | ❌ Incorreta (o oposto deveria aumentar) |
| (C) | $6,20 \text{ cm}$ | Aumenta (+) | $6,60 \text{ cm}$ | Diminui (-) | ✅ Correta (Única coerente) |
| (D) | $9,28 \text{ cm}$ | Aumenta (+) | $14,84 \text{ cm}$ | Aumenta (+) | ❌ Incorreta (ambos cresceram demais) |
| (E) | $3,09 \text{ cm}$ | Diminui (-) | $8,28 \text{ cm}$ | Diminui (-) | ❌ Incorreta (o oposto deveria aumentar) |
Conclusão:
A Alternativa C é a única que respeita a propriedade fundamental da trigonometria neste contexto: ao abrir o ângulo, o lado vertical cresce e o lado horizontal encolhe.