Para um certo número real positivo x, sabe-se que: PR = x cm; PQ = 2x + 2 cm; QR = 2x + 3 cm. Determina, em cm, o valor de x.

Resumo da Resposta

O valor de x é 5.

Justificativa Didática

Este problema envolve um triângulo retângulo, identificado pelo símbolo de ângulo reto no vértice P. Para resolver, utilizamos o Teorema de Pitágoras, que relaciona as medidas dos lados desse triângulo.

1. Identificando os lados

No triângulo retângulo PQR:

• Os catetos são os lados adjacentes ao ângulo reto: \overline{PR} e \overline{PQ}.
• A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto: \overline{QR}.

De acordo com a figura:

• Cateto a = x
• Cateto b = 2x + 2
• Hipotenusa c = 2x + 3

2. Aplicando o Teorema de Pitágoras

A fórmula é dada por:
a^2 + b^2 = c^2

Substituindo os valores das expressões algébricas:
x^2 + (2x + 2)^2 = (2x + 3)^2

3. Resolvendo a equação

Primeiro, expandimos os produtos notáveis (quadrado da soma):

• (2x + 2)^2 = 4x^2 + 8x + 4
• (2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9

Substituímos esses resultados na equação original:
x^2 + (4x^2 + 8x + 4) = 4x^2 + 12x + 9

Juntamos os termos semelhantes no lado esquerdo:
5x^2 + 8x + 4 = 4x^2 + 12x + 9

Para resolver, passamos todos os termos para o lado esquerdo, igualando a zero:
(5x^2 - 4x^2) + (8x - 12x) + (4 - 9) = 0
x^2 - 4x - 5 = 0

4. Encontrando as raízes

Podemos resolver essa equação do segundo grau utilizando a fórmula de Bhaskara ou por fatoração. Vamos usar a fatoração procurando dois números que multiplicados dão -5 e somados dão -4. Esses números são -5 e +1.

As soluções possíveis são:

• x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5
• x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1

5. Conclusão

O enunciado especifica que x deve ser um número real positivo.

• x = -1 é negativo, portanto é inválido.
• x = 5 é positivo, portanto é a solução correta.

Alternativa Final: O valor de x é 5.