Análise da Questão
Esta questão aborda geometria espacial, especificamente o cálculo de volumes de troncos de cone. O problema requer a compreensão das dimensões fornecidas na figura e a aplicação da fórmula do volume corretamente dividida em duas partes.
1. Interpretação das Dimensões
Primeiramente, é crucial identificar o que representam os números na figura:
- As setas horizontais indicam a largura total das aberturas, portanto, tratam-se de diâmetros, não de raios.
- Diâmetro superior (D) = $30 \text{ cm} \Rightarrow$ Raio superior (R) = $15 \text{ cm}$.
- Diâmetro inferior (d) = $10 \text{ cm} \Rightarrow$ Raio inferior (r) = $5 \text{ cm}$.
- A altura total do vaso (H) é de $40 \text{ cm}$.
- O valor de \pi foi arredondado para $3$.
2. Divisão do Vaso
O enunciado divide o vaso em duas camadas ao longo da altura:
- Camada de Drenagem: Ocupa \frac{1}{4} da altura total.
- Altura (h_1) = \frac{1}{4} \times 40 \text{ cm} = 10 \text{ cm}.
- Posição: Na parte inferior do vaso (base menor).
- Substrato: Ocupa o restante da altura (\frac{3}{4}).
- Altura (h_2) = \frac{3}{4} \times 40 \text{ cm} = 30 \text{ cm}.
- Posição: Na parte superior, logo acima da drenagem.
3. Cálculo do Raio Intermediário
Para calcular o volume do substrato, precisamos saber o raio onde a camada de drenagem termina. Como as paredes do vaso são retas, o raio cresce linearmente com a altura.
- Variação total do raio: $15 \text{ cm} - 5 \text{ cm} = 10 \text{ cm}$.
- Altura total: $40 \text{ cm}$.
- Crescimento do raio por cm de altura: \frac{10}{40} = 0,25 \text{ cm/cm}.
Na altura da drenagem ($10 \text{ cm}$):
- Aumento do raio = $10 \text{ cm} \times 0,25 = 2,5 \text{ cm}$.
- Raio intermediário (r') = Raio inferior + Aumento = $5 + 2,5 = \mathbf{7,5 \text{ cm}}$.
4. Cálculo dos Volumes
Utilizamos a fórmula do volume do tronco de cone:
V = \frac{\pi \cdot h}{3} (R^2 + r^2 + R \cdot r)
A) Volume da Camada de Drenagem (V_{dr})
- h = 10 \text{ cm}
- Raio menor (r) = $5 \text{ cm}$
- Raio maior (R') = $7,5 \text{ cm}$
V_{dr} = \frac{3 \cdot 10}{3} (5^2 + 7,5^2 + 5 \cdot 7,5)
V_{dr} = 10 (25 + 56,25 + 37,5)
V_{dr} = 10 (118,75)
\mathbf{V_{dr} = 1.187,5 \text{ cm}^3}
B) Volume do Substrato (V_{sub})
- h = 30 \text{ cm}
- Raio inferior (r') = $7,5 \text{ cm}$ (é o topo da drenagem)
- Raio superior (R) = $15 \text{ cm}$ (boca do vaso)
V_{sub} = \frac{3 \cdot 30}{3} (7,5^2 + 15^2 + 7,5 \cdot 15)
V_{sub} = 30 (56,25 + 225 + 112,5)
V_{sub} = 30 (393,75)
\mathbf{V_{sub} = 11.812,5 \text{ cm}^3}
Conclusão
Os volumes calculados são 1.187,5 cm³ para a drenagem e 11.812,5 cm³ para o substrato. Esses valores correspondem exatamente à alternativa D.
Alternativa D