Seja a equação da esfera dada por S: (x - 3)² + (y - 3)² + (z - 4)² = 4. Assinale a alternativa que apresenta corretamente o centro e o raio de S.

Alternativa C

A questão solicita a identificação do centro e do raio de uma esfera a partir de sua equação reduzida.

Para resolver, é necessário conhecer a fórmula padrão da equação da esfera no espaço tridimensional:

Nesta fórmula:

• (x_0, y_0, z_0) representam as coordenadas do Centro C.
• r representa o Raio da esfera (note que o lado direito é r^2).

Análise da Equação

Comparando a equação dada na questão com a fórmula padrão:

Equação fornecida:
(x - 3)^2 + (y - 3)^2 + (z - 4)^2 = 4

1. Identificando o Centro (C):
   Observamos os valores subtraídos dentro dos parênteses:

• x_0 = 3
• y_0 = 3
• z_0 = 4

Portanto, o centro é $C = (3, 3, 4)$.

1. Identificando o Raio (r):
   O valor do lado direito da igualdade corresponde ao quadrado do raio (r^2):
   r^2 = 4

Para encontrar o raio, calculamos a raiz quadrada:
r = \sqrt{4} = 2

Portanto, o raio é $r = 2$.

Comparação com as Alternativas

• Alternativa A: Erra ao calcular o centro como o produto dos termos e não confunde o raio.
• Alternativa B: Inverte os sinais do centro (erro comum ao ler a equação) e confunde r com r^2.
• Alternativa C: Apresenta o centro correto (3, 3, 4) e o raio correto r = 2.
• Alternativa D: Apresenta o centro com os sinais trocados.
• Alternativa E: Apresenta o centro correto, mas assume que o raio é 4 (valor de r^2) em vez de calcular a raiz.

Conclusão: A única alternativa que identifica corretamente tanto as coordenadas do centro quanto o valor real do raio é a C.