Seja a equação da hipérbole dada por $ rac{x^2}{4} - rac{y^2}{9} = 1$. Assinale a alternativa que representa a excentricidade dessa hipérbole.

Question

Seja a equação da hipérbole dada por $ rac{x^2}{4} rac{y^2}{9} = 1$. Assinale a alternativa que representa a excentricidade dessa hipérbole. A) e = √13/2 B) e = √13/3 C) e = 2/3 D) e = 3/2 E) e = 5/2

Sapien IA · Accepted Answer

Alternativa A Para resolver esta questão, precisamos identificar os parâmetros da hipérbole a partir da sua equação reduzida e aplicar a fórmula da excentricidade. A equação fornecida é $\frac{x^2}{4} \frac{y^2}{9} = 1$. Esta é a forma padrão de uma hipérbole com centro na origem e eixo transverso horizontal (sobre o eixo $x$): $$ \frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1 $$ Análise dos Dados Comparando a equação do enunciado com a fórmula padrão, identificamos os valores de $a^2$ e $b^2$: O denominador positivo está associado ao termo $x^2$, logo $a^2 = 4$ . Isso implica que $a = 2$. O denominador negativo está associado ao termo $y^2$, logo $b^2 = 9$ . Isso implica que $b = 3$. É importante notar que, diferentemente da elipse, na hipérbole a relação entre os semi eixos segue a propriedade: $$ c^2 = a^2 + b^2 $$ Substituindo os valores encontrados: $$ c^2 = 4 + 9 $$ $$ c^2 = 13 $$ $$ c = \sqrt{13} $$ A excentricidade ($e$) é definida como a razão entre a distância focal ($c$) e o semi eixo real ($a$): $$ e = \frac{c}{a} $$ Substituindo $c$ e $a$: $$ e = \frac{\sqrt{13}}{2} $$ Conclusão O valor calculado para a excentricidade é $\frac{\sqrt{13}}{2}$, o que corresponde exatamente à Alternativa A .

Explicação passo a passo

Análise dos Dados

Conclusão

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