Matemática — Geometria Dissertativa

Sejam o plano π: ax + by + cz + d = 0 e o plano μ: 2x + y - z + 2 = 0. Sabe que os planos são paralelos e que o plano π passa na origem do sistema cartesiano. Determine o valor de (a + b + c + d), com a, b, c, d reais.

Sejam o plano π: ax + by + cz + d = 0 e o plano μ: 2x + y - z + 2 = 0. Sabe que os planos são paralelos e que o plano π passa na origem do sistema cartesiano. Determine o valor de (a + b + c + d), com a, b, c, d reais.

Resolução completa

Explicação passo a passo

Resumo da resposta

Resumo da Resposta:
O valor de (a + b + c + d) é 2. O resultado é obtido aplicando a condição de paralelismo entre os vetores normais dos planos e utilizando o fato de que a origem pertence ao plano \pi.

Justificativa Didática:

Para resolver este problema de Geometria Analítica, precisamos analisar as propriedades dos planos espaciais dados. O objetivo é encontrar os coeficientes da equação do plano \pi e somá-los.

Análise Detalhada

  1. Identificação dos Vetores Normais:
    A equação geral de um plano é dada por Ax + By + Cz + D = 0. Os coeficientes A, B, C formam o vetor normal ao plano.
  • Para o plano \mu: 2x + y - z + 2 = 0, o vetor normal é \vec{n}_{\mu} = (2, 1, -1).
  • Para o plano \pi: ax + by + cz + d = 0, o vetor normal é \vec{n}_{\pi} = (a, b, c).
  1. Condição de Paralelismo:
    Se dois planos são paralelos, seus vetores normais devem ser colineares (proporcionais). Isso significa que existe um número real k tal que:
    (a, b, c) = k \cdot (2, 1, -1)
    Portanto, temos as relações:
  • a = 2k
  • b = k
  • c = -k
  1. Condição de Passagem pela Origem:
    O enunciado afirma que o plano \pi passa na origem (0, 0, 0). Substituímos essas coordenadas na equação de \pi:
    a(0) + b(0) + c(0) + d = 0
    0 + 0 + 0 + d = 0 \Rightarrow d = 0
  2. Cálculo da Soma:
    Precisamos determinar o valor de a + b + c + d. Substituindo os valores encontrados em função de k:
    Soma = (2k) + (k) + (-k) + 0
    Soma = 2k

Observação Importante: Em questões deste tipo, quando não há dados adicionais (como distância entre planos) para definir o fator de proporcionalidade k, assume-se o caso mais simples onde os coeficientes correspondem diretamente aos do plano de referência (k = 1).
Com k = 1:

  • a = 2
  • b = 1
  • c = -1
  • d = 0

Realizando a soma final:
2 + 1 + (-1) + 0 = 2

Conclusão:
Com base nas condições de paralelismo e na passagem pela origem, o valor calculado é 2.

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