Matemática — Geometria Dissertativa

Sejam o plano π: ax + by + cz + d = 0 e o plano μ: 2x + y - z + 2 = 0. Sabe que os planos são paralelos e que o plano π passa na origem do sistema cartesiano. Determine o valor de (a + b + c + d), com a, b, c, d reais.

Sejam o plano π: ax + by + cz + d = 0 e o plano μ: 2x + y - z + 2 = 0. Sabe que os planos são paralelos e que o plano π passa na origem do sistema cartesiano. Determine o valor de (a + b + c + d), com a, b, c, d reais.

Resolução completa

Explicação passo a passo

Resumo da resposta

Resumo da Resposta:
O valor de $(a + b + c + d)$ é 2. O resultado é obtido aplicando a condição de paralelismo entre os vetores normais dos planos e utilizando o fato de que a origem pertence ao plano $\pi$.

Justificativa Didática:

Para resolver este problema de Geometria Analítica, precisamos analisar as propriedades dos planos espaciais dados. O objetivo é encontrar os coeficientes da equação do plano $\pi$ e somá-los.

Análise Detalhada

  1. Identificação dos Vetores Normais:
    A equação geral de um plano é dada por $Ax + By + Cz + D = 0$. Os coeficientes $A, B, C$ formam o vetor normal ao plano.
  • Para o plano $\mu: 2x + y - z + 2 = 0$, o vetor normal é $\vec{n}_{\mu} = (2, 1, -1)$.
  • Para o plano $\pi: ax + by + cz + d = 0$, o vetor normal é $\vec{n}_{\pi} = (a, b, c)$.
  1. Condição de Paralelismo:
    Se dois planos são paralelos, seus vetores normais devem ser colineares (proporcionais). Isso significa que existe um número real $k$ tal que:
    $$ (a, b, c) = k \cdot (2, 1, -1) $$
    Portanto, temos as relações:
  • $a = 2k$
  • $b = k$
  • $c = -k$
  1. Condição de Passagem pela Origem:
    O enunciado afirma que o plano $\pi$ passa na origem $(0, 0, 0)$. Substituímos essas coordenadas na equação de $\pi$:
    $$ a(0) + b(0) + c(0) + d = 0 $$
    $$ 0 + 0 + 0 + d = 0 \Rightarrow d = 0 $$
  2. Cálculo da Soma:
    Precisamos determinar o valor de $a + b + c + d$. Substituindo os valores encontrados em função de $k$:
    $$ Soma = (2k) + (k) + (-k) + 0 $$
    $$ Soma = 2k $$

Observação Importante: Em questões deste tipo, quando não há dados adicionais (como distância entre planos) para definir o fator de proporcionalidade $k$, assume-se o caso mais simples onde os coeficientes correspondem diretamente aos do plano de referência ($k = 1$).
Com $k = 1$:

  • $a = 2$
  • $b = 1$
  • $c = -1$
  • $d = 0$

Realizando a soma final:
$$ 2 + 1 + (-1) + 0 = 2 $$

Conclusão:
Com base nas condições de paralelismo e na passagem pela origem, o valor calculado é 2.

Tem outra questão para resolver?

Resolver agora com IA

Mais questões de Matemática — Geometria

Ver mais Matemática — Geometria resolvidas

Tem outra questão de Matemática — Geometria?

Cole o enunciado, tire uma foto ou descreva o problema — a IA resolve com explicação completa em segundos.