Resumo da Resposta:
O valor de $(a + b + c + d)$ é 2. O resultado é obtido aplicando a condição de paralelismo entre os vetores normais dos planos e utilizando o fato de que a origem pertence ao plano $\pi$.
Justificativa Didática:
Para resolver este problema de Geometria Analítica, precisamos analisar as propriedades dos planos espaciais dados. O objetivo é encontrar os coeficientes da equação do plano $\pi$ e somá-los.
Análise Detalhada
- Identificação dos Vetores Normais:
A equação geral de um plano é dada por $Ax + By + Cz + D = 0$. Os coeficientes $A, B, C$ formam o vetor normal ao plano.
- Para o plano $\mu: 2x + y - z + 2 = 0$, o vetor normal é $\vec{n}_{\mu} = (2, 1, -1)$.
- Para o plano $\pi: ax + by + cz + d = 0$, o vetor normal é $\vec{n}_{\pi} = (a, b, c)$.
- Condição de Paralelismo:
Se dois planos são paralelos, seus vetores normais devem ser colineares (proporcionais). Isso significa que existe um número real $k$ tal que:
$$ (a, b, c) = k \cdot (2, 1, -1) $$
Portanto, temos as relações:
- Condição de Passagem pela Origem:
O enunciado afirma que o plano $\pi$ passa na origem $(0, 0, 0)$. Substituímos essas coordenadas na equação de $\pi$:
$$ a(0) + b(0) + c(0) + d = 0 $$
$$ 0 + 0 + 0 + d = 0 \Rightarrow d = 0 $$ - Cálculo da Soma:
Precisamos determinar o valor de $a + b + c + d$. Substituindo os valores encontrados em função de $k$:
$$ Soma = (2k) + (k) + (-k) + 0 $$
$$ Soma = 2k $$
Observação Importante: Em questões deste tipo, quando não há dados adicionais (como distância entre planos) para definir o fator de proporcionalidade $k$, assume-se o caso mais simples onde os coeficientes correspondem diretamente aos do plano de referência ($k = 1$).
Com $k = 1$:
- $a = 2$
- $b = 1$
- $c = -1$
- $d = 0$
Realizando a soma final:
$$ 2 + 1 + (-1) + 0 = 2 $$
Conclusão:
Com base nas condições de paralelismo e na passagem pela origem, o valor calculado é 2.