Alternativa E
O problema solicita o cálculo da área pavimentada em uma praça quadrada, subtraindo-se a área de um canteiro central também quadrado. Para resolver, devemos encontrar a diferença entre a área total da praça e a área do canteiro de flores.
Desenvolvimento
Passo 1: Calcular a área total da praça
A praça é um quadrado com lado (3x + 2). A área de um quadrado é dada pelo quadrado do seu lado (L^2).
A_{\text{total}} = (3x + 2)^2
Aplicando a fórmula do quadrado da soma (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2:
A_{\text{total}} = (3x)^2 + 2(3x)(2) + 2^2
A_{\text{total}} = 9x^2 + 12x + 4
Passo 2: Calcular a área do canteiro de flores
O canteiro é um quadrado com lado (x - 1). Aplicamos a fórmula do quadrado da diferença (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2:
A_{\text{canteiro}} = (x - 1)^2
A_{\text{canteiro}} = x^2 - 2(x)(1) + 1^2
A_{\text{canteiro}} = x^2 - 2x + 1
Passo 3: Calcular a área restante (pavimentada)
Subtraímos a área do canteiro da área total da praça:
A_{\text{restante}} = A_{\text{total}} - A_{\text{canteiro}}
A_{\text{restante}} = (9x^2 + 12x + 4) - (x^2 - 2x + 1)
Ao remover os parênteses, cuidado para alterar os sinais dos termos dentro do segundo parêntese:
A_{\text{restante}} = 9x^2 + 12x + 4 - x^2 + 2x - 1
Agrupando os termos semelhantes:
- Termos em x^2: $9x^2 - x^2 = 8x^2$
- Termos em x: $12x + 2x = 14x$
- Termos constantes: $4 - 1 = 3$
O resultado final é:
8x^2 + 14x + 3
Análise
- Geometria Plana: O problema envolve figuras geométricas planas (quadrados) e cálculo de áreas.
- Polinômios: Requer conhecimento de multiplicação de polinômios e redução de termos semelhantes.
- Operações Algébricas: É essencial saber expandir binômios ao quadrado corretamente, especialmente a parte negativa na subtração final.
- Verificação: A alternativa correspondente ao resultado $8x^2 + 14x + 3$ é a quinta opção apresentada na lista.
Conclusão
A expressão algébrica que representa a área pavimentada é $8x^2 + 14x + 3$, o que corresponde à última alternativa disponível.