Alternativa A
Resolução Passo a Passo
Para resolver esta questão, precisamos calcular a área de superfície do chapéu, que tem a forma geométrica de um tronco de cone.
1. Identificação dos Dados:
- Diâmetro da base maior (D): $10 \text{ cm} \Rightarrow$ Raio (R) = $5 \text{ cm}$.
- Diâmetro da base menor (d): $4 \text{ cm} \Rightarrow$ Raio (r) = $2 \text{ cm}$.
- Altura (h): $5 \text{ cm}$.
- Observação: Nas opções fornecidas, nota-se que a questão considera a medida de $5 \text{ cm}$ como a geratriz (g) do tronco de cone, em vez da altura vertical. Isso é comum em questões simplificadas ou com erros de formulação. Vamos usar g = 5 \text{ cm}.
- Quantidade de brinquedos: $100$ (Nota: as alternativas apresentam valores equivalentes à área de 1 chapéu, indicando que a questão pede o valor unitário ou há inconsistência nas opções).
2. Fórmulas Utilizadas:
- Área Lateral (A_l): A_l = \pi \cdot (R + r) \cdot g
- Área da Base Maior (A_{bm}): A_{bm} = \pi \cdot R^2
- Área da Base Menor (A_{bm}): A_{bm} = \pi \cdot r^2
- Área Total (A_t): A_t = A_l + A_{bm} + A_{bm}
3. Cálculos:
Considerando \pi \approx 3,14:
- Área Lateral:
A_l = 3,14 \cdot (5 + 2) \cdot 5
A_l = 3,14 \cdot 7 \cdot 5 = 3,14 \cdot 35 = 109,90 \text{ cm}^2 - Áreas das Bases:
- Base Maior: $3,14 \cdot 5^2 = 3,14 \cdot 25 = 78,50 \text{ cm}^2$
- Base Menor: $3,14 \cdot 2^2 = 3,14 \cdot 4 = 12,56 \text{ cm}^2$
- Área Total (Soma de todas as partes):
A_t = 109,90 + 78,50 + 12,56 = 200,96 \text{ cm}^2
Análise das Alternativas:
| Área Calculada | Valor (\text{cm}^2) | Correspondência |
|---|
| Área Lateral ($35\pi$) | $109,90$ | Próximo de B (mas B é \times 10) |
| Área Lateral + Base Menor ($39\pi$) | $122,46$ | Alternativa D |
| Área Total ($64\pi$) | $200,96$ | Alternativa A |
Conclusão Didática:
A questão apresenta duas interpretações possíveis dependendo do contexto:
- Interpretação Física (Chapéu): Um chapéu geralmente não tem a base maior fechada (por onde passa a cabeça). Nesse caso, a área seria apenas Lateral + Base Menor ($122,46 \text{ cm}^2$), correspondendo à Alternativa D.
- Interpretação Geométrica Padrão: Em exercícios de geometria, a menos que seja dito "sem base", calcula-se a Área Total da figura geométrica descrita. O valor exato de $64 \times 3,14 = 200,96$ bate perfeitamente com a Alternativa A.
Considerando que em provas de múltipla escolha, especialmente com níveis de dificuldade variados, a aplicação direta da fórmula de Área Total é a expectativa padrão para "calcular a área de um sólido", a Alternativa A é a resposta mais segura tecnicamente, apesar da ambiguidade do termo "chapéu". Além disso, a questão omite a multiplicação pelos 100 brinquedos nas opções, mantendo o valor unitário.
Portanto, a resposta correta baseada na aplicação da fórmula completa de área total é a Alternativa A.