Resumo da Resposta
Para impossibilitar o ladrilhamento, deve-se remover quadrados de forma a isolar um único quadrado restante, criando uma região desconectada de tamanho ímpar (1 quadrado). Como cada dominó cobre exatamente 2 quadrados adjacentes, um quadrado isolado nunca poderá ser coberto, mesmo que o número total de quadrados brancos e pretos remanescentes seja igual.
Introdução ao Problema
O problema envolve o conceito de ladrilhamento (ou cobertura) usando peças de dominó em um tabuleiro de xadrez. As regras fundamentais são:
- Cada dominó cobre exatamente dois quadrados adjacentes.
- Em um tabuleiro padrão, dominó sempre cobre um quadrado branco e um preto.
- Para um ladrilhamento completo ser possível, duas condições gerais devem ser atendidas:
- O número de quadrados brancos deve ser igual ao número de quadrados pretos.
- Não pode haver obstáculos geométricos que impeçam o pareamento (como regiões isoladas).
Embora a remoção de 2 brancos e 2 pretos mantenha o equilíbrio de cores ($30$ brancos e $30$ pretos), a geometria do tabuleiro pode impedir o pareamento.
Análise da Construção
Vamos construir um exemplo concreto utilizando coordenadas no tabuleiro $8 \times 8$. Definimos as linhas como i e colunas como j, onde $1 \le i, j \le 8$. A cor de um quadrado (i, j) depende da soma i+j:
- Se i+j é par, o quadrado é Preto.
- Se i+j é ímpar, o quadrado é Branco.
Passo 1: Escolha do Quadrado a Isolar
Focaremos no canto superior esquerdo, o quadrado $(1,1)$.
- Soma: $1+1 = 2$ (Par) \Rightarrow Cor: Preto.
- Vizinhos diretos disponíveis inicialmente: (1,2) e (2,1).
Passo 2: Remoção dos Vizinhos (Quadrados Brancos)
Para isolar o quadrado (1,1), precisamos remover todos os seus vizinhos.
- Removemos (1,2)$**: $1+2=3 (Ímpar) \Rightarrow Cor: Branco**.
- Removemos (2,1)$**: $2+1=3 (Ímpar) \Rightarrow Cor: Branco**.
- Total removido até agora: 2 Brancos.
- Estado de (1,1): Agora ele não possui nenhum vizinho no tabuleiro. É um quadrado solitário.
Passo 3: Remoção de Quadrados Pretos (Completando a Regra)
O enunciado exige a remoção de 2 quadrados pretos também. Podemos escolher qualquer outro par de quadrados pretos distantes para não interferir na ilha isolada.
- Removemos (1,3)$**: $1+3=4 (Par) \Rightarrow Cor: Preto**.
- Removemos (2,2)$**: $2+2=4 (Par) \Rightarrow Cor: Preto**.
- Nota: A remoção de (2,2) não conecta (1,1) novamente, pois eles são diagonais e não adjacentes.
Passo 4: Verificação das Condições
- Quadrados removidos:
- Brancos: (1,2), (2,1) \rightarrow Total 2.
- Pretos: (1,3), (2,2) \rightarrow Total 2.
- Atende à regra do enunciado.
- Tabuleiro Restante:
- Possui 60 quadrados.
- Contém o quadrado (1,1) isolado.
- Possui 30 Brancos e 30 Pretos restantes.
Por que o ladrilhamento falha?
Um dominó precisa de 2 quadrados adjacentes para ser colocado. O quadrado (1,1) sobrou no tabuleiro, mas seus únicos vizinhos possíveis foram removidos. Portanto, não existe nenhum lugar onde um dominó possa cobrir o quadrado (1,1). Como não é possível cobrir todos os quadrados, o ladrilhamento é impossível.
Conclusão
A impossibilidade do ladrilhamento neste caso não decorre do desequilíbrio de cores (que foi mantido em 30 brancos e 30 pretos), mas sim da desconexão do grafo formado pelos quadrados. Ao isolar um quadrado específico removendo seus vizinhos, criamos uma "ilha" de tamanho 1, que viola a condição mínima de área necessária para acomodar um dominó. Este exemplo demonstra que a paridade das cores é uma condição necessária, mas não suficiente, para garantir a existência de um ladrilhamento.