Um engenheiro ambiental está projetando um sistema de coleta de água da chuva para um parque urbano. O sistema inclui um grande cilindro para armazenar a água e um cone invertido para direcionar a água da chuva para o cilindro. O cilindro e o cone têm a mesma altura e o mesmo diâmetro da base, sendo 2 e 3 metros, respectivamente. O cilindro ficará submerso e o cone será exposto como uma escultura. O volume do

Alternativa A - cone é um terço do volume do cilindro.

Análise Geométrica

Para responder a esta questão, precisamos comparar as fórmulas de volume dos dois sólidos geométricos descritos: o cilindro e o cone.

Fórmulas de Volume

• Cilindro: O volume é calculado multiplicando a área da base circular pela altura.
  V_{cilindro} = \pi \cdot r^2 \cdot h
• Cone: O volume é calculado da mesma forma que o cilindro, mas multiplicado por \frac{1}{3}.
  V_{cone} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h

Comparação das Dimensões

O enunciado fornece informações cruciais sobre as dimensões dos dois objetos:

1. "O cilindro e o cone têm a mesma altura" (h é constante para ambos).
2. "O mesmo diâmetro da base" (Isso implica que o raio r também é o mesmo para ambos).

Como r e h são idênticos nos dois cálculos, podemos comparar os volumes diretamente observando o coeficiente numérico.

Relação Matemática

Se substituirmos a fórmula do cilindro dentro da fórmula do cone, temos:

Sabendo que (\pi \cdot r^2 \cdot h) é exatamente o volume do cilindro (V_{cilindro}), chegamos à conclusão:

Isso significa que o volume do cone é um terço do volume do cilindro. Inversamente, o volume do cilindro é três vezes maior que o do cone.

Portanto, a única afirmação correta entre as opções apresentadas é que o volume do cone equivale a um terço do volume do cilindro.