Um fazendeiro possui um terreno retangular e deseja construir um galinheiro. Ele tem 60 metros de tela para cercar três lados do galinheiro, utilizando um muro existente como o quarto lado. Para maximizar a área do galinheiro, ele precisa determinar as dimensões ideais. Se x representa a largura dos dois lados perpendiculares ao muro e y representa o comprimento do lado paralelo ao muro, qual é a área máxima que ele pode cercar?

Alternativa A

O problema envolve encontrar a área máxima de um retângulo onde apenas três lados precisam ser cercados, utilizando um muro existente para o quarto lado. Trata-se de um problema clássico de otimização que utiliza funções quadráticas para encontrar valores máximos.

Análise Detalhada

1. Definição das Variáveis e Restrições

• Seja x a largura dos lados perpendiculares ao muro.
• Seja y o comprimento do lado paralelo ao muro.
• A quantidade total de tela disponível é de 60 metros.
• Como há apenas três lados cercados, a soma das medidas deve satisfazer a equação: 2x + y = 60

2. Formulação da Área

• A área A de um retângulo é dada pelo produto da largura pelo comprimento: A = x \cdot y
• Para expressar a área em função de uma única variável, isolamos y na equação da restrição: y = 60 - 2x
• Substituímos y na fórmula da área: A(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2

3. Determinação do Valor Máximo

• A função A(x) = -2x^2 + 60x é uma parábola voltada para baixo (pois o coeficiente de x^2 é negativo), possuindo um ponto máximo no vértice.
• A coordenada x do vértice é calculada pela fórmula x_v = \frac{-b}{2a}:
• Onde a = -2 e b = 60.
• x_v = \frac{-60}{2(-2)} = \frac{-60}{-4} = 15
• Com x = 15, calculamos o valor de y:
• y = 60 - 2(15) = 30
• Finalmente, calculamos a área máxima:
• A_{max} = 15 \cdot 30 = 450 \text{ m}^2

Conclusão

A área máxima possível para o galinheiro é de 450 m², o que corresponde à primeira opção apresentada na lista. As dimensões ideais seriam 15 metros para os lados laterais e 30 metros para o lado frontal.