Um poço será perfurado em um terreno plano, na forma de um cilindro circular reto, toda a terra retirada é amontoada na forma de um cone circular reto, cujo raio da base é o triplo do raio do poço e a altura é 2,4 metros. Sabe-se que o volume desse cone de terra é maior do que o volume do poço cilíndrico, pois a terra fica mais fofa após ser escavada. Qual é a profundidade, em metros, desse poço?

Alternativa C

Para encontrar a profundidade do poço, devemos utilizar as fórmulas de volume para cilindros e cones, estabelecendo uma relação entre eles com base nas informações fornecidas.

Resolução Passo a Passo

1. Identificar as formas geométricas:

• O poço é um cilindro circular reto.
• A terra amontoada é um cone circular reto.

1. Definir as variáveis:

• Seja r o raio do poço (cilindro).
• Seja h a profundidade (altura) do poço.
• O raio da base do cone é o triplo do raio do poço: R = 3r.
• A altura do cone é dada: H = 2,4 metros.

1. Aplicar as fórmulas de volume:

• Volume do Cilindro: V_{cil} = \pi \cdot r^2 \cdot h
• Volume do Cone: V_{cone} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot R^2 \cdot H

1. Estabelecer a igualdade de volumes:
   Embora o enunciado mencione que a terra fica "mais fofa" (aumentando o volume físico), em problemas matemáticos como este, onde não há um coeficiente percentual específico de expansão, considera-se que o volume da terra removida corresponde ao volume do espaço ocupado pelo cone. Portanto, igualamos os volumes para encontrar h:
   V_{cil} = V_{cone}
   \pi \cdot r^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (3r)^2 \cdot 2,4
2. Resolver a equação:

• Expandimos o quadrado do raio do cone: (3r)^2 = 9r^2.
  \pi \cdot r^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 9r^2 \cdot 2,4
• Cancelamos \pi e r^2 de ambos os lados:
  h = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 2,4
  h = 3 \cdot 2,4
  h = 7,2

Análise

• Relação de Escala: Como o raio do cone é 3 vezes maior que o do cilindro, a área da base do cone é $3^2 = 9$ vezes maior.
• Fator Cone: A fórmula do cone tem um fator \frac{1}{3}. Combinando isso com a área 9 vezes maior, temos um fator efetivo de volume de $9 \cdot \frac{1}{3} = 3$.
• Conclusão Lógica: Para manter o mesmo volume, se a base do cone é 3 vezes maior (efetivamente, considerando a fórmula), a altura do cilindro deve ser 3 vezes maior que a altura do cone.
  h = 3 \cdot 2,4 = 7,2 \text{ metros}
• Observação sobre o Texto: A frase sobre a terra ficar "mais fofa" explica a realidade física (aumento de porosidade), mas sem dados numéricos adicionais (ex: "aumenta 20%"), o cálculo geométrico padrão assume equivalência de volume de material extraído versus empilhado para fins de resolução algébrica.

Alternativa C.