Uma fábrica produziu um modelo de barraca com formato de cone reto, que tem sua superfície feita por lona, incluindo a base dessa barraca que ficará em contato com o chão. Observe, na figura abaixo, um esboço desse modelo de barraca com algumas dimensões indicadas. Considere: π = 3. O custo da lona utilizada na produção dessas barracas é de R$ 5,00 por metro quadrado. Qual é o custo mínimo, em reais, da lona utilizada na fabricação de uma dessas barracas?

Alternativa A

Para resolver este problema, precisamos calcular a área total da superfície da barraca e multiplicar pelo custo por metro quadrado.

Análise Geométrica

A barraca possui formato de um cone reto. O enunciado especifica duas informações cruciais para o cálculo:

1. Superfície completa: O texto diz "incluindo a base da barraca", logo, devemos calcular a Área Total (Lateral + Base).
2. Dimensões:

• Altura da geratriz (lado inclinado): g = 3 \text{ m}.
• Diâmetro da base: d = 3 \text{ m}.
• Raio da base (r): \frac{d}{2} = 1,5 \text{ m}.
• Valor aproximado de \pi: $3$.

Cálculo das Áreas

Primeiro, calculamos a área da base (círculo) e a área lateral (setor circular desdobrado).

• Área da Base (A_b):
  A_b = \pi \cdot r^2
  A_b = 3 \cdot (1,5)^2 = 3 \cdot 2,25 = 6,75 \text{ m}^2
• Área Lateral (A_l):
  A_l = \pi \cdot r \cdot g
  A_l = 3 \cdot 1,5 \cdot 3 = 13,5 \text{ m}^2
• Área Total (A_t):
  A_t = A_b + A_l
  A_t = 6,75 + 13,5 = 20,25 \text{ m}^2

Cálculo Final do Custo

Sabendo que o custo é de R$ 5,00 por metro quadrado:

Portanto, o custo mínimo da lona utilizada na fabricação de uma dessas barracas é R$ 101,25.

Alternativa A.