Esta questão envolve análise de funções (hiperbolica e linear) e trigonometria básica em um plano cartesiano. Abaixo está a resolução detalhada para os dois itens solicitados.
Resumo da Resposta
O resultado do cálculo pedido na alínea 2.1 é 18, e o valor exato de \sin \alpha solicitado na alínea 2.2 é $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
Resolução Detalhada
2.1. Calcula f(5) \times g\left(\frac{5}{2}\right)
Para resolver este item, precisamos primeiro encontrar as expressões analíticas das funções f e g.
Passo 1: Encontrar a expressão de $f(x)$
A função é definida por f(x) = \frac{k}{x}. Sabemos que o ponto A(3; 6) pertence ao gráfico dessa função. Substituímos as coordenadas de A na equação para encontrar k:
6 = \frac{k}{3} \Rightarrow k = 18
Logo, a função é f(x) = \frac{18}{x}.
Agora calculamos f(5):
f(5) = \frac{18}{5}
Passo 2: Encontrar a expressão de $g(x)$
A função g é linear. No contexto desta disciplina (Matemática A), "função linear" refere-se a uma função da forma g(x) = mx (proporcionalidade direta), cujo gráfico passa pela origem do sistema de coordenadas. Como o gráfico mostra a reta azul passando pela origem O e pelo ponto A(3; 6), podemos determinar o coeficiente angular m:
6 = m \cdot 3 \Rightarrow m = 2
Logo, a função é g(x) = 2x.
Agora calculamos g\left(\frac{5}{2}\right):
g\left(\frac{5}{2}\right) = 2 \cdot \frac{5}{2} = 5
Passo 3: Calcular o produto
Multiplicamos os valores encontrados:
f(5) \times g\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{18}{5} \times 5 = 18
2.2. Determina o valor exato de \sin \alpha
O ângulo \alpha é parte do triângulo retângulo OBA. Vamos identificar os lados relativos a esse ângulo.
Análise Geométrica:
- Ponto O: Origem (0, 0).
- Ponto B: Está no eixo das abcissas com a mesma abcissa que A. Logo, B = (3, 0).
- Ponto A: Coordenadas (3, 6).
No triângulo retângulo OBA (com ângulo reto em B):
- O cateto oposto ao ângulo \alpha é o segmento AB. Sua medida é a ordenada de A: |AB| = 6.
- O cateto adjacente ao ângulo \alpha é o segmento OB. Sua medida é a abcissa de B: |OB| = 3.
- A hipotenusa é o segmento OA. Precisamos calcular sua medida usando o Teorema de Pitágoras:
|OA|^2 = |OB|^2 + |AB|^2
|OA|^2 = 3^2 + 6^2
|OA|^2 = 9 + 36 = 45
|OA| = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}
Cálculo do Seno:
A definição de seno é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa:
\sin \alpha = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{|AB|}{|OA|}
Substituindo os valores:
\sin \alpha = \frac{6}{3\sqrt{5}}
Simplificando a fração:
\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}
Racionalizando o denominador (multiplicando por \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}):
\sin \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}