Alternativa E - 19 e 86
Para resolver este problema de alocação de polos, precisamos encontrar o vetor de ganho K = [k_1 \quad k_2] tal que os autovalores da matriz do sistema em malha fechada coincidam com os polos especificados. O método utilizado será a comparação de coeficientes do polinômio característico.
Análise Detalhada
1. Determinação do Polinômio Característico Desejado
Os polos desejados são fornecidos como um par complexo conjugado: p_1 = -4 + j4 e p_2 = -4 - j4. O polinômio característico desejado D_d(s) é formado pelo produto dos fatores (s - p_i):
D_d(s) = (s - (-4 + j4))(s - (-4 - j4))
Utilizando a propriedade (a-b)(a+b) = a^2 - b^2, onde a = s+4 e b = j4:
D_d(s) = ((s + 4) - j4)((s + 4) + j4) = (s + 4)^2 - (j4)^2
Como j^2 = -1, temos (j4)^2 = -16:
D_d(s) = (s^2 + 8s + 16) - (-16)
D_d(s) = s^2 + 8s + 32
Portanto, queremos que o sistema tenha coeficientes iguais a 8 para o termo s e 32 para o termo constante.
2. Cálculo do Polinômio Característico do Sistema Realimentado
O sistema original é dado por:
A = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 8 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
Com a lei de controle u = -Kx, onde K = [k_1 \quad k_2], a matriz do sistema em malha fechada torna-se A_{fc} = A - BK:
A - BK = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 8 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_1 & k_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 8 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} k_1 & k_2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
A_{fc} = \begin{bmatrix} 3-k_1 & 6-k_2 \\ 2 & 8 \end{bmatrix}
O polinômio característico do sistema real é dado por \det(sI - A_{fc}):
\det \left( \begin{bmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3-k_1 & 6-k_2 \\ 2 & 8 \end{bmatrix} \right) = \det \begin{bmatrix} s - (3-k_1) & -(6-k_2) \\ -2 & s - 8 \end{bmatrix}
Calculando o determinante:
P(s) = (s - 3 + k_1)(s - 8) - (-2)(-(6-k_2))
Nota: O termo fora do determinante é (-2) \times (-(6-k_2)) = 2(6-k_2) = 12 - 2k_2. No entanto, olhando a expansão do primeiro termo:
(s - 3 + k_1)(s - 8) = s^2 - 8s - 3s + 24 + k_1s - 8k_1 = s^2 + (k_1 - 11)s + (24 - 8k_1)
Somando o segundo termo do determinante (+2(6-k_2)):
P(s) = s^2 + (k_1 - 11)s + (24 - 8k_1 + 12 - 2k_2)
P(s) = s^2 + (k_1 - 11)s + (36 - 8k_1 - 2k_2)
Correção na expansão anterior: Vamos refazer o determinante cuidadosamente.
\text{Det} = (s - 3 + k_1)(s - 8) - (-2)(k_2 - 6)
= (s^2 - 8s - 3s + 24 + k_1s - 8k_1) + (2k_2 - 12)
= s^2 + (k_1 - 11)s + (24 - 8k_1 + 2k_2 - 12)
= s^2 + (k_1 - 11)s + (12 - 8k_1 + 2k_2)
3. Comparação de Coeficientes (Método da Substituição Direta)
Igualamos os coeficientes do polinômio calculado P(s) com o polinômio desejado D_d(s) = s^2 + 8s + 32.
| Termo | Polinômio Desejado | Polinômio Calculado | Equação |
|---|
| s^1 | 8 | k_1 - 11 | k_1 - 11 = 8 |
| s^0 | 32 | $12 - 8k_1 + 2k_2$ | $12 - 8k_1 + 2k_2 = 32$ |
Resolvendo o sistema:
- Para k_1:
k_1 - 11 = 8 \Rightarrow k_1 = 19 - Para k_2:
Substituindo k_1 = 19 na segunda equação:
12 - 8(19) + 2k_2 = 32
12 - 152 + 2k_2 = 32
-140 + 2k_2 = 32
2k_2 = 172
k_2 = 86
O vetor de ganhos resultante é K = [19 \quad 86].
Conclusão
Os valores encontrados para os elementos do vetor K são 19 e 86. Portanto, a alternativa correta é a E.