Considere o diagrama de blocos dado por R(s) → Sampler (T = 0,5) → 1/(s+9) → C(s) Obtenha a função de transferência discreta dada por C(z)/R(z).

Alternativa C - \frac{C(z)}{R(z)} = \frac{0,109}{z - 0,0111}

Resolução Didática

Esta questão trata da obtenção da Função de Transferência Discreta de um sistema de controle digital que inclui um Zero-Order Hold (ZOH) (segunda ordem de zero) e uma planta contínua.

Passo 1: Entender a Estrutura do Sistema

O diagrama mostra:

• Um sinal de entrada R(s).
• Um sampler (amostrador) com período T = 0,5 segundos.
• Um bloco do tipo Hold (ZOH) com função \frac{1-e^{-Ts}}{s}.
• Uma planta contínua com função \frac{1}{s+9}.

A função de transferência global no domínio s, antes da discretização, é o produto desses dois blocos:
G(s) = \frac{1-e^{-Ts}}{s} \cdot \frac{1}{s+9}

Passo 2: Isolar a Parte Discretizável

Para encontrar a função de transferência discreta G(z), aplicamos a transformada Z ao produto. Sabemos que o termo (1-e^{-Ts}) no domínio do tempo se transforma em (1-z^{-1}) ou \frac{z-1}{z} no domínio Z.
Portanto, a relação fica:
G(z) = (1-z^{-1}) \mathcal{Z} \left\{ \frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s+9} \right\}

Passo 3: Frações Parciais e Transformada Z

Primeiro, fazemos a decomposição em frações parciais para \frac{1}{s(s+9)}:
\frac{1}{s(s+9)} = \frac{1}{9} \left( \frac{1}{s} - \frac{1}{s+9} \right)

Aplicando a tabela de transformadas Z conhecidas (\mathcal{Z}\{\frac{1}{s}\} = \frac{z}{z-1} e \mathcal{Z}\{\frac{1}{s+a}\} = \frac{z}{z-e^{-aT}}):
Com a=9 e T=0,5:
\mathcal{Z} \left\{ \frac{1}{s(s+9)} \right\} = \frac{1}{9} \left( \frac{z}{z-1} - \frac{z}{z-e^{-9 \times 0,5}} \right)

Calculando o exponencial:
e^{-4,5} \approx 0,0111

Substituindo na equação:
\dots = \frac{1}{9} \left( \frac{z}{z-1} - \frac{z}{z-0,0111} \right)

Passo 4: Montar a Equação Final

Agora multiplicamos pelo termo do Hold (1-z^{-1}) = \frac{z-1}{z}:
G(z) = \frac{z-1}{z} \cdot \frac{1}{9} \left[ \frac{z(z-0,0111) - z(z-1)}{(z-1)(z-0,0111)} \right]

Simplificando a álgebra (cancelando z e z-1):
G(z) = \frac{1}{9} \frac{z - 0,0111 - z + 1}{z - 0,0111}
G(z) = \frac{1}{9} \frac{1 - 0,0111}{z - 0,0111}
G(z) = \frac{1}{9} \frac{0,9889}{z - 0,0111}
G(z) = \frac{0,1098}{z - 0,0111}

Arredondando para três casas decimais, obtemos:
\frac{C(z)}{R(z)} = \frac{0,109}{z - 0,0111}

Isso corresponde exatamente à Alternativa C.