Esta é uma questão clássica de Teoria de Controle, especificamente sobre a conversão de um modelo no Espaço de Estados para a Função de Transferência. Embora o título diga "Controle Discreto", as equações apresentadas (derivadas temporais \dot{x} e variável s) descrevem um sistema contínuo. O processo de solução é o mesmo para ambos os domínios, apenas mudando a variável (s para z).
Passo a Passo da Resolução
Para encontrar a função de transferência G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} a partir das equações de estado, utilizamos a fórmula geral:
G(s) = C(sI - A)^{-1}B + D
Onde:
- A é a matriz do sistema.
- B é a matriz de entrada.
- C é a matriz de saída.
- D é a matriz de transmissão direta (neste caso, zero, pois não há termo direto u(t) na saída).
1. Identificação das Matrizes
Pela imagem, extraímos as seguintes matrizes:
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad
C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad
D = [0]
2. Cálculo de (sI - A)
Primeiro, construímos a matriz identidade multiplicada por s e subtraímos a matriz A:
sI = \begin{bmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{bmatrix}
sI - A = \begin{bmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s-1 & -2 \\ 1 & s-3 \end{bmatrix}
3. Cálculo do Determinante (Denominador)
O denominador da função de transferência é o determinante de (sI - A):
\det(sI - A) = (s-1)(s-3) - (-2)(1)
= (s^2 - 3s - s + 3) + 2
= s^2 - 4s + 5
(Nota: A alternativa A mostra s^2 + 4s - 5, o que indica uma possível inconsistência nos dados da questão ou um erro de digitação na alternativa).
4. Cálculo da Inversa (sI - A)^{-1}
A inversa de uma matriz $2 \times 2$ é dada por \frac{1}{\det} \times \text{Adjunta}. A adjunta troca os elementos da diagonal principal e inverte os sinais dos fora da diagonal:
\text{Adj}(sI - A) = \begin{bmatrix} s-3 & 2 \\ -1 & s-1 \end{bmatrix}
Logo:
(sI - A)^{-1} = \frac{1}{s^2 - 4s + 5} \begin{bmatrix} s-3 & 2 \\ -1 & s-1 \end{bmatrix}
5. Cálculo Final da Função de Transferência
Substituímos na fórmula G(s) = C(sI - A)^{-1}B:
G(s) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \left( \frac{1}{s^2 - 4s + 5} \begin{bmatrix} s-3 & 2 \\ -1 & s-1 \end{bmatrix} \right) \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
Multiplicando C pela matriz inversa:
\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s-3 & 2 \\ -1 & s-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(s-3) + 0 & 1(2) + 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s-3 & 2 \end{bmatrix}
Agora multiplicando pelo vetor B:
\begin{bmatrix} s-3 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = (s-3)(0) + (2)(1) = 2
Portanto, a função de transferência correta, baseada nos dados da imagem, é:
G(s) = \frac{2}{s^2 - 4s + 5}
Análise das Alternativas
Comparando nosso resultado com a Alternativa A visível na imagem:
| Característica | Nosso Cálculo | Alternativa A |
|---|
| Numerador | $2$ | s - 3 |
| Denominador | s^2 - 4s + 5 | s^2 + 4s - 5 |
Existe uma discrepância significativa entre o cálculo matemático rigoroso e a alternativa apresentada. Isso geralmente ocorre em questões de concursos devido a erros de digitação nas matrizes originais ou nas opções de resposta.
- Para obter o numerador s-3, a matriz C deveria ser [1, 0] e a matriz B deveria ser [1, 0]^T (atuando na primeira variável).
- Para obter o denominador s^2 + 4s - 5, a matriz A precisaria ter traço -4 e determinante -5 (ex: autovalores -5 e $1$).
Conclusão Didática:
Se esta questão fosse de uma prova real, a estratégia recomendada é anular a questão ou marcar a alternativa mais próxima após justificar o erro, pois o cálculo demonstrado acima é o único procedimento matematicamente válido para os dados apresentados.
Resposta Correta (Matemática):
G(s) = \frac{2}{s^2 - 4s + 5}