A forma fatorada do trinômio 2x² - 5x + 2 é

Alternativa A

Para encontrar a forma fatorada de um polinômio quadrático (trinômio), precisamos determinar as raízes da equação associada e aplicar a fórmula geral de fatoração. O trinômio dado é $2x^2 - 5x + 2$.

Análise Matemática

O processo consiste em três etapas principais: cálculo do discriminante, determinação das raízes e aplicação da fórmula de fatoração.

• Cálculo do Discriminante (\Delta):
  Utilizamos a fórmula \Delta = b^2 - 4ac, onde a=2, b=-5 e c=2.
  \Delta = (-5)^2 - 4(2)(2)
  \Delta = 25 - 16 = 9
  Como \Delta > 0, existem duas raízes reais distintas.
• Determinação das Raízes (x_1 e x_2):
  Aplicamos a fórmula de Bhaskara: x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}.
  x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2(2)}
  x = \frac{5 \pm 3}{4}

Calculando os dois valores:
x_1 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2
x_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

• Aplicação da Fórmula de Fatoração:
  A forma fatorada de um trinômio ax^2 + bx + c é dada por a(x - x_1)(x - x_2).

Substituindo os valores encontrados (a=2, x_1=2, x_2=\frac{1}{2}):
2 \cdot (x - 2) \cdot \left(x - \frac{1}{2}\right)

Conclusão

Comparando o resultado obtido com as opções apresentadas na imagem, vemos que ele corresponde exatamente à primeira alternativa listada. As outras alternativas apresentam erros de sinal nos parênteses ou esquecem o coeficiente líder a=2.

Portanto, a resposta correta é a Alternativa A.